0324-1

Информация о задаче

Задача №324 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1-\sin{x}-\cos{x}}[/math].

Решение

Используем формулы [math]1-\cos{x}=2\sin^2\frac{x}{2}[/math] и [math]\sin{x}=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}[/math].

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1-\sin{x}-\cos{x}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}+\sin{x}}{1-\cos{x}-\sin{x}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}} =-1. [/math]

Ответ

-1