0322-1
Информация о задаче
Задача №322 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos^3{x}}{x\sin{2x}}[/math].
Решение
Можно использовать формулу [math]1-\cos{x}=2\sin^2\frac{x}{2}[/math], однако мне более нравится путь домножения числителя и знаменателя на выражение [math]1+\cos{x}[/math].
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos^3{x}}{x\sin{2x}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{x\sin{2x}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{x\sin{2x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos^2{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{x\sin{2x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2{x}\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{2x\sin{x}\cos{x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)} =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{x}}{x}\cdot\frac{1+\cos{x}+\cos^2{x}}{2\cos{x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)}\right) =\frac{3}{4}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{3}{4}[/math]
