Задача №1115
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos^3{x}}{x\sin{2x}}\).
Решение
Можно использовать формулу \(1-\cos{x}=2\sin^2\frac{x}{2}\), однако мне более нравится путь домножения числителя и знаменателя на выражение \(1+\cos{x}\).
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos^3{x}}{x\sin{2x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{x\sin{2x}}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{x\sin{2x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos^2{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{x\sin{2x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2{x}\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)}{2x\sin{x}\cos{x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)}
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{x}}{x}\cdot\frac{1+\cos{x}+\cos^2{x}}{2\cos{x}\cdot\left(1+\cos{x}\right)}\right)
=\frac{3}{4}.
\]
Ответ:
\(\frac{3}{4}\)