0321-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №321 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{x^2}[/math].

Решение

Можно использовать формулу [math]1-\cos{x}=2\sin^2\frac{x}{2}[/math], однако мне более нравится путь простого домножения числителя и знаменателя на выражение [math]1+\cos{x}[/math].

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{x^2} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos{x})\cdot(1+\cos{x})}{x^2\cdot(1+\cos{x})}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2{x}}{x^2\cdot(1+\cos{x})} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos{x}}\right) =\frac{1}{2}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{2}[/math]