0320-1

Информация о задаче

Задача №320 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{2x-\arcsin{x}}{2x+\arctg{x}}[/math].

Решение

Используя формулы [math]\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1[/math], [math]\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1[/math], доказанные в примере №1 темы про первый замечательный предел, получим:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{2x-\arcsin{x}}{2x+\arctg{x}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{2-\frac{\arcsin{x}}{x}}{2+\frac{\arctg{x}}{x}} =\frac{2-1}{2+1} =\frac{1}{3}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{3}[/math]