0318-1
Информация о задаче
Задача №318 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{(\sin\alpha)^m}[/math].
Решение
[dmath] \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{(\sin\alpha)^m} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{\alpha\to{0}}\left(\frac{\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{\alpha^n}}{\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^m}\cdot\alpha^{n-m}\right) [/dmath]
Так как [math]\frac{\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{\alpha^n}}{\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^m}\to{1}[/math], то рассмотрим три случая. Если [math]n\lt{m}[/math], то [math]\alpha^{n-m}\to\infty[/math], поэтому исходный предел будет равен [math]\infty[/math]. Если же [math]n=m[/math], то [math]\alpha^{n-m}=1[/math], поэтому и предел будет равен 1. И, наконец, если [math]n\gt{m}[/math], то [math]\alpha^{n-m}\to{0}[/math], поэтому и предел будет равен 0.
Ответ
[math]\infty[/math] при [math]n\lt{m}[/math]; 1 при [math]n=m[/math]; 0 при [math]n\gt{m}[/math].
