Задача №1111
Условие
Найти предел \(\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{(\sin\alpha)^m}\).
Решение
\[
\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{(\sin\alpha)^m}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{\alpha\to{0}}\left(\frac{\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{\alpha^n}}{\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^m}\cdot\alpha^{n-m}\right)
\]
Так как \(\frac{\frac{\sin\left(\alpha^n\right)}{\alpha^n}}{\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^m}\to{1}\), то рассмотрим три случая. Если \(n\lt{m}\), то \(\alpha^{n-m}\to\infty\), поэтому исходный предел будет равен \(\infty\). Если же \(n=m\), то \(\alpha^{n-m}=1\), поэтому и предел будет равен 1. И, наконец, если \(n\gt{m}\), то \(\alpha^{n-m}\to{0}\), поэтому и предел будет равен 0.
Ответ:
\(\infty\) при \(n\lt{m}\); 1 при \(n=m\); 0 при \(n\gt{m}\).