Задача №1109
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{\alpha{x}}}{\sin{\beta{x}}}\).
Решение
Если \(\alpha=0\), то данный предел равен 0. Если же \(\alpha\neq{0}\), то получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{\alpha{x}}}{\sin{\beta{x}}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{\frac{\sin{\alpha{x}}}{\alpha{x}}}{\frac{\sin{\beta{x}}}{\beta{x}}}\right)
=\frac{\alpha}{\beta}.
\]
Ответ:
\(\frac{\alpha}{\beta}\)