0311-1
Информация о задаче
Задача №311 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{x^2-2x-1}-\sqrt{x^2-7x+3}\right)[/math].
Решение
[dmath] \lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{x^2-2x-1}-\sqrt{x^2-7x+3}\right)=\\ = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2-2x-1}-\sqrt{x^2-7x+3}\right)\cdot\left(\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}\right)}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}} = \\ = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x-4}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}} [/dmath]
Рассмотрим два случая: [math]x\to-\infty[/math] и [math]x\to+\infty[/math]:
[dmath] \lim_{x\to-\infty}\frac{5x-4}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{5-\frac{4}{x}}{-\sqrt{1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}-\sqrt{1-\frac{7}{x}+\frac{3}{x^2}}} =-\frac{5}{2}. [/dmath]
[dmath] \lim_{x\to+\infty}\frac{5x-4}{\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt{x^2-7x+3}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{5-\frac{4}{x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{7}{x}+\frac{3}{x^2}}} =\frac{5}{2}. [/dmath]
Ответ
[math]-\frac{5}{2}[/math] при [math]x\to-\infty[/math]; [math]\frac{5}{2}[/math] при [math]x\to+\infty[/math].
