0310-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №310 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)[/math].

Решение

Если [math]x\to{-\infty}[/math], то [math]\lim_{x\to{-\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=+\infty[/math]. Если же [math]x\to{+\infty}[/math], то получим:

[math] \lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right) =\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}-x\right)=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+x\right)}{\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+x}=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{(a+b)x+ab}{\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+x} =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{a+b+\frac{ab}{x}}{\sqrt{1+\frac{a+b}{x}+\frac{ab}{x^2}}+1} =\frac{a+b}{2}. [/math]

Ответ

[math]+\infty[/math] при [math]x\to-\infty[/math]; [math]\frac{a+b}{2}[/math] при [math]x\to+\infty[/math].