Задача №1103
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)\).
Решение
Если \(x\to{-\infty}\), то \(\lim_{x\to{-\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=+\infty\). Если же \(x\to{+\infty}\), то получим:
\[
\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)
=\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}-x\right)=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+x\right)}{\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+x}=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{(a+b)x+ab}{\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+x}
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{a+b+\frac{ab}{x}}{\sqrt{1+\frac{a+b}{x}+\frac{ab}{x^2}}+1}
=\frac{a+b}{2}.
\]
Ответ:
\(+\infty\) при \(x\to-\infty\); \(\frac{a+b}{2}\) при \(x\to+\infty\).