Задача №1102
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\pm\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\).
Решение
Если \(x\to{-\infty}\), то так как \(\sqrt{x^2+1}-x\to{+\infty}\), то \(\lim_{x\to{-\infty}}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=-\infty\). Если же \(x\to{+\infty}\), то получим:
\[
\lim_{x\to{+\infty}}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x}
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(-\infty\) при \(x\to-\infty\); \(\frac{1}{2}\) при \(x\to+\infty\).