0309-1
Информация о задаче
Задача №309 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to\pm\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)[/math].
Решение
Если [math]x\to{-\infty}[/math], то так как [math]\sqrt{x^2+1}-x\to{+\infty}[/math], то [math]\lim_{x\to{-\infty}}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=-\infty[/math]. Если же [math]x\to{+\infty}[/math], то получим:
[dmath] \lim_{x\to{+\infty}}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right) =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x} =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x} =\frac{1}{2}. [/dmath]
Ответ
[math]-\infty[/math] при [math]x\to-\infty[/math]; [math]\frac{1}{2}[/math] при [math]x\to+\infty[/math].
