Задача №1101
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\).
Решение
Если \(x\to{-\infty}\), то так как \(\sqrt{x^2+1}\to{+\infty}\) и \(-x\to{+\infty}\), то \(\sqrt{x^2+1}-x\to{+\infty}\). Если же \(x\to{+\infty}\), то получим:
\[
\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x}
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}
=0.
\]
Ответ:
\(+\infty\) при \(x\to-\infty\); 0 при \(x\to+\infty\).