0304-1
Информация о задаче
Задача №304 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-\sqrt{3+x^2}}{x-1}[/math].
Решение
Рассмотрим пару вспомогательных пределов:
[dmath] \lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-2}{x-1} =\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{1}}\frac{\left(\sqrt[3]{7+x^3}-2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(7+x^3\right)^2}+2\sqrt[3]{7+x^3}+4\right)}{(x-1)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(7+x^3\right)^2}+2\sqrt[3]{7+x^3}+4\right)}=\\ =\lim_{x\to{1}}\frac{x^3-1}{(x-1)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(7+x^3\right)^2}+2\sqrt[3]{7+x^3}+4\right)} =\lim_{x\to{1}}\frac{x^2+x+1}{\sqrt[3]{\left(7+x^3\right)^2}+2\sqrt[3]{7+x^3}+4} =\frac{1}{4}. [/dmath]
[dmath] \lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt{3+x^2}-2}{x-1} =\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{1}}\frac{\left(\sqrt{3+x^2}-2\right)\cdot\left(\sqrt{3+x^2}+2\right)}{(x-1)\cdot\left(\sqrt{3+x^2}+2\right)}=\\ =\lim_{x\to{1}}\frac{x^2-1}{(x-1)\cdot\left(\sqrt{3+x^2}+2\right)} =\lim_{x\to{1}}\frac{x+1}{\sqrt{3+x^2}+2} =\frac{1}{2}. [/dmath]
С учётом рассмотренных выше пределов, получим:
[dmath] \lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-\sqrt{3+x^2}}{x-1} =\lim_{x\to{1}}\left(\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{3+x^2}-2}{x-1}\right) =\frac{1}{4}-\frac{1}{2} =-\frac{1}{4}. [/dmath]
Ответ
[math]-\frac{1}{4}[/math]
