0303-1
Информация о задаче
Задача №303 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}}{x+x^2}[/math].
Решение
Рассмотрим пару вспомогательных пределов:
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x} =\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}{x\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{x\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{x}{\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1} =0. [/dmath]
[dmath]
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[4]{1-2x}-1}{x}
=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[4]{1-2x}-1\right)\cdot\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)}{x\cdot\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1-2x}-1}{x\cdot\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1-2x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{1-2x}+1\right)}{x\cdot\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)\cdot\left(\sqrt{1-2x}+1\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{-2x}{x\cdot\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)\cdot\left(\sqrt{1-2x}+1\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{-2}{\left(\sqrt[4]{1-2x}+1\right)\cdot\left(\sqrt{1-2x}+1\right)}
=-\frac{1}{2}.
[/dmath]
С учётом рассмотренных выше пределов, получим:
[dmath]
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}}{x+x^2}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1-\sqrt[4]{1-2x}+1}{x+x^2}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x}\cdot\frac{1}{x+1}\right)-\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sqrt[4]{1-2x}-1}{x}\cdot\frac{1}{x+1}\right)
=0-\left(-\frac{1}{2}\right)
=\frac{1}{2}.
[/dmath]
Ответ
[math]\frac{1}{2}[/math]
