Задача №1095
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[m]{x}-1}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[m]{x}-1}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\left[\begin{aligned}& t=\sqrt[mn]{x};\\& t\to{1}\end{aligned}\right]
=\lim_{t\to{1}}\frac{t^m-1}{t^n-1}=\\
=\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)\cdot\left(t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+1\right)}{(t-1)\cdot\left(t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+1\right)}
=\lim_{t\to{1}}\frac{t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+1}{t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+1}
=\frac{m}{n}.
\]
Ответ:
\(\frac{m}{n}\)