0302-1

Информация о задаче

Задача №302 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[m]{x}-1}[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[m]{x}-1} =\left|\frac{0}{0}\right| =\left|\begin{aligned}&t=\sqrt[mn]{x};\\&t\to{1}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{1}}\frac{t^m-1}{t^n-1}=\\ =\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)\cdot\left(t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+1\right)}{(t-1)\cdot\left(t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+1\right)} =\lim_{t\to{1}}\frac{t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+1}{t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+1} =\frac{m}{n}. [/math]

Ответ

[math]\frac{m}{n}[/math]