Задача №1094
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{a}}\frac{\sqrt{x-b}-\sqrt{a-b}}{x^2-a^2}\), \(a\gt{b}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{a}}\frac{\sqrt{x-b}-\sqrt{a-b}}{x^2-a^2}
=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{a}}\frac{\left(\sqrt{x-b}-\sqrt{a-b}\right)\cdot\left(\sqrt{x-b}+\sqrt{a-b}\right)}{\left(x^2-a^2\right)\cdot\left(\sqrt{x-b}+\sqrt{a-b}\right)}=\\
=\lim_{x\to{a}}\frac{x-a}{(x-a)\cdot(x+a)\cdot\left(\sqrt{x-b}+\sqrt{a-b}\right)}
=\lim_{x\to{a}}\frac{1}{(x+a)\cdot\left(\sqrt{x-b}+\sqrt{a-b}\right)}
=\frac{1}{4a\sqrt{a-b}}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{4a\sqrt{a-b}}\)