Задача №1093
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}
=\left[\frac{0}{0}\right]=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}{x\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{2x}{x\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{2}{\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}
=\frac{2}{3}.
\]
Ответ:
\(\frac{2}{3}\)