0300-1
Информация о задаче
Задача №300 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}[/math].
Решение
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x} =\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}{x\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{2x}{x\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{2}{\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}} =\frac{2}{3}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{2}{3}[/math]
