0299-1

Информация о задаче

Задача №299 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2} =\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}{x^2\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{x^2\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1} =\frac{1}{3}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{3}[/math]