Задача №1092
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}{x^2\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{x^2\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1}
=\frac{1}{3}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{3}\)