0298-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №298 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{h\to{0}}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}[/math].

Решение

Если [math]x=0[/math], то при условии [math]h\to{0+0}[/math] получим: [math]\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}[/math]. Следовательно, в данном случае [math]\lim_{h\to{0}}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\infty[/math]. Если же [math]x>0[/math], то получим:

[math] \lim_{h\to{0}}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} =\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{h\to{0}}\frac{\left(\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}{h\cdot\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\\ =\lim_{h\to{0}}\frac{x+h-x}{h\cdot\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)} =\lim_{h\to{0}}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} =\frac{1}{2\sqrt{x}}. [/math]

Ответ

При [math]x>0[/math] предел равен [math]\frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]; а при [math]x=0[/math] предел равен [math]\infty[/math].