Задача №1058
Условие
Найти предел \(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1\cdot{3}}+\frac{1}{3\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right)\).
Решение
\[
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1\cdot{3}}+\frac{1}{3\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right)=\\
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4n+2}\right)
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2}\)