0255-1
Информация о задаче
Задача №255 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^3-2n^2+1}+\sqrt[3]{n^4+1}}{\sqrt[4]{n^6+6n^5+2}-\sqrt[5]{n^7+3n^3+1}}[/math].
Решение
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^3-2n^2+1}+\sqrt[3]{n^4+1}}{\sqrt[4]{n^6+6n^5+2}-\sqrt[5]{n^7+3n^3+1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{n^3-2n^2+1}+\sqrt[3]{n^4+1}}{n^{\frac{3}{2}}}}{\frac{\sqrt[4]{n^6+6n^5+2}-\sqrt[5]{n^7+3n^3+1}}{n^{\frac{3}{2}}}}=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{n^3-2n^2+1}{n^3}}+\sqrt[3]{\frac{n^4+1}{n^{\frac{9}{2}}}}}{\sqrt[4]{\frac{n^6+6n^5+2}{n^6}}-\sqrt[5]{\frac{n^7+3n^3+1}{n^{\frac{15}{2}}}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}}+\sqrt[3]{\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{n^{\frac{9}{2}}}}}{\sqrt[4]{1+\frac{6}{n}+\frac{2}{n^6}}-\sqrt[5]{\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}+\frac{3}{n^{\frac{9}{2}}}+\frac{1}{n^{\frac{15}{2}}}}} =1. [/dmath]
Ответ
1
