Задача №1044
Условие
Найти предел \(\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)^4-(n-1)^4}{(2n+1)^4+(n-1)^4}\).
Решение
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)^4-(n-1)^4}{(2n+1)^4+(n-1)^4}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(2n+1)^4}{n^4}-\frac{(n-1)^4}{n^4}}{\frac{(2n+1)^4}{n^4}+\frac{(n-1)^4}{n^4}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(2+\frac{1}{n}\right)^4-\left(1-\frac{1}{n}\right)^4}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^4+\left(1-\frac{1}{n}\right)^4}
=\frac{16-1}{16+1}=\frac{15}{17}.
\]
Ответ:
\(\frac{15}{17}\)