024-09-2

Информация о задаче

Задача №24 параграфа №9 "Предел функции" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Найти пределы функций:

1. [math]\lim_{x\to{1}}\frac{x^n-1}{x^k-1}[/math], [math]n\in{N}[/math], [math]k\in{N}[/math].
2. [math]\lim_{x\to{1}}\frac{x^{n+1}-x^{k+1}+x^k-nx+n-1}{(x-1)^2}[/math], [math]n\in{N}[/math], [math]k\in{N}[/math].

Решение

Пункт №1

Решение этого примера есть в решебнике Бермана: см. 0280-1.

Пункт №2

Сделаем замену переменной: [math]t=x-1[/math], при этом [math]t\to{0}[/math]:

[dmath] \lim_{x\to{1}}\frac{x^{n+1}-x^{k+1}+x^k-nx+n-1}{(x-1)^2} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{t\to{0}}\frac{(1+t)^{n+1}-(1+t)^{k+1}+(1+t)^k-n(1+t)+n-1}{t^2}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{1+(n+1)t+\frac{n(n+1)}{2}t^2+o\left(t^2\right)-\left(1+(k+1)t+\frac{k(k+1)}{2}t^2+o\left(t^2\right)\right)+1+kt+\frac{k(k-1)}{2}t^2+o\left(t^2\right)-nt-1}{t^2}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{n^2+n-2k}{2}\cdot{t^2}+o\left(t^2\right)}{t^2} =\frac{n^2+n-2k}{2}. [/dmath]

Ответ

1. [math]\frac{n}{k}[/math]
2. [math]\frac{n^2+n-2k}{2}[/math]