0223-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №223 параграфа №3 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Пусть [math]f(x)=\left\{\begin{aligned}&x+1;\;x\le{1}; \\ &3-ax^2;\;x\gt{1}.\end{aligned}\right.[/math]. При каком выборе числа [math]a[/math] функция [math]f(x)[/math] будет непрерывной? Построить её график.

Решение

Функции [math]x+1[/math] и [math]3-ax^2[/math] непрерывны при любых [math]x\in{R}[/math]. Исследуем на разрыв точку [math]x=1[/math].

[math] \begin{aligned} &\lim_{x\to{1-0}}f(x)=\lim_{x\to{1-0}}(x+1)=2.\\ &\lim_{x\to{1+0}}f(x)=\lim_{x\to{1+0}}\left(3-ax^2\right)=3-a. \end{aligned} [/math]

Так как [math]f(1)=2[/math], то функция будет непрерывной при [math]3-a=2[/math], откуда имеем [math]a=1[/math].

При [math]a=1[/math] получим, что [math]f(x)=\left\{\begin{aligned}&x+1;\;x\le{1}; \\ &3-x^2;\;x\gt{1}.\end{aligned}\right.[/math]. Построим график этой функции. Серой пунктирной линией показан график параболы [math]y=3-x^2[/math].

График функции

Ответ

[math]a=1[/math]