Задача №1036
Условие
Функция \(u_n\) принимает значения \(u_1=\frac{1}{4}\), \(u_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{10}\),..., \(u_n=\frac{1}{3+1}+\frac{1}{3^2+1}+\ldots+\frac{1}{3^n+1}\),... Доказать, что \(u_n\) стремится к некотором пределу при \(n\to\infty\).
Решение
Покажем, что последовательность \(u_n\) является монотонно возрастающей:
\[
u_{n+1}-u_n
=\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac{1}{3^i+1}-\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{3^i+1}
=\frac{1}{3^{n+1}+1}\gt{0}.
\]
Так как \(u_{n+1}-u_{n}\gt{0}\), то \(u_{n+1}\gt{u_n}\), т.е. последовательность монотонно возрастает. Покажем, что данная последовательность ограничена сверху:
\[
u_n
=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{3^i+1}
\lt\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^i
=\frac{\frac{1}{3}\cdot\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}}
=\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{3^n}\right)
\lt\frac{1}{2}.
\]
Так как \(u_n\) монотонно возрастает и ограничена сверху, то данная последовательность имеет предел.
Ответ:
Утверждение доказано.