0216-1
Информация о задаче
Задача №216 параграфа №2 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Функция [math]u_n[/math] принимает значения [math]u_1=\frac{1}{4}[/math], [math]u_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{10}[/math],..., [math]u_n=\frac{1}{3+1}+\frac{1}{3^2+1}+\ldots+\frac{1}{3^n+1}[/math],... Доказать, что [math]u_n[/math] стремится к некотором пределу при [math]n\to\infty[/math].
Решение
Покажем, что последовательность [math]u_n[/math] является монотонно возрастающей:
[dmath] u_{n+1}-u_n =\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac{1}{3^i+1}-\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{3^i+1} =\frac{1}{3^{n+1}+1}\gt{0}. [/dmath]
Так как [math]u_{n+1}-u_{n}\gt{0}[/math], то [math]u_{n+1}\gt{u_n}[/math], т.е. последовательность монотонно возрастает. Покажем, что данная последовательность ограничена сверху:
[dmath] u_n =\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{3^i+1} \lt\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^i =\frac{\frac{1}{3}\cdot\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}} =\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{3^n}\right) \lt\frac{1}{2}. [/dmath]
Так как [math]u_n[/math] монотонно возрастает и ограничена сверху, то данная последовательность имеет предел.
Ответ
Утверждение доказано.
