0204-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №204 параграфа №2 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать, что функция [math]y=\frac{x^2}{1+x^4}[/math] ограничена на всей числовой оси.

Решение

Очевидно, что [math]y(x)\ge{0}[/math]. Ограничим заданную функцию сверху.

[math] y(x)=\frac{x^2}{1+x^4} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{-2x^2}{1+x^4} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^4-2x^2+1-\left(x^4+1\right)}{1+x^4} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{(x^2-1)^2}{1+x^4}+\frac{1}{2}. [/math]

Следовательно, [math]\frac{1}{2}-y(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(x^2-1)^2}{1+x^4}[/math]. Так как [math]\frac{1}{2}\cdot\frac{(x^2-1)^2}{1+x^4}\ge{0}[/math], то имеем [math]\frac{1}{2}-y(x)\ge{0}[/math], откуда [math]y(x)\le\frac{1}{2}[/math].

Так как [math]0\le{y(x)}\le\frac{1}{2}[/math], то заданная функция ограничена.


Небольшое дополнение: использованные выше преобразования могут показаться не столь уж очевидными. Поэтому при желании можно поступить попроще: например, рассмотреть два случая: [math]|x|\le{1}[/math] и [math]|x|\gt{1}[/math]. Если [math]|x|\le{1}[/math], то [math]x^2\le{1}[/math] и [math]0\le{x^4}\le{1}[/math], поэтому [math]y(x)\le\frac{1}{1+0}=1[/math]. Если же [math]|x|\gt 1[/math], то получим:

[math]y(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\lt\frac{x^2}{x^4}=\frac{1}{x^2}\lt{1}[/math]

Таким образом, для всех [math]x\in{R}[/math] имеем [math]0\le{y(x)}\le{1}[/math]. Разумеется, полученное ограничение более грубое, чем при решении предыдущим способом. Однако в данной задаче это неважно, так как нам требуется всего лишь показать ограниченность заданной функции.

Ответ

Утверждение доказано.