Задача №1034
Доказать, что \(\sin{x}\) стремится к единице при \(x\to\frac{\pi}{2}\). Каким условиям должен удовлетворять \(x\) в окрестности точки \(x=\frac{\pi}{2}\), чтобы имело место неравенство \(1-\sin{x}\lt{0{,}01}\)?
Нам нужно показать, что для любого \(\varepsilon\gt{0}\) существует значение \(\delta_{\varepsilon}\gt{0}\) такое, что для всех значений \(x\), удовлетворяющих неравенству \(0\lt\left|x-\frac{\pi}{2}\right|\lt\delta_{\varepsilon}\), выполнено неравенство \(\left|\sin{x}-1\right|\lt\varepsilon\).
Тут можно пойти разными путями. Можно, например, использовать неравенство \(|\sin{x}|\le|x|\), верное при всех \(x\in{R}\). Собственно, равенство здесь достигается лишь при \(x=0\), т.е. при \(x\neq{0}\) верно неравество \(|\sin{x}|\lt|x|\). Исходя из данного неравенства при \(x\neq{0}\) имеем \(\sin^2{x}\lt{x^2}\). При условии \(x\neq\frac{\pi}{2}\) получим:
Неравенство \(\frac{1}{2}\cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2\lt\varepsilon\) равносильно неравенству \(\left|x-\frac{\pi}{2}\right|\lt\sqrt{2\varepsilon}\). Это значит, что принимая \(\delta_{\varepsilon}=\sqrt{2\varepsilon}\), получим, что из неравенства \(0\lt\left|x-\frac{\pi}{2}\right|\lt\delta_{\varepsilon}\) следует неравенство \(\left|\sin{x}-1\right|\lt\varepsilon\). Это и доказывает, что \(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin{x}=1\).
Впрочем, это же утверждение можно доказать и без использования неравенства \(|\sin{x}|\lt|x|\). Рассмотрим неравенство \(\left|\sin{x}-1\right|\lt\varepsilon\). Учитываем то, что \(\sin{x}\le{1}\).
Рассмотрим окрестность точки \(\frac{\pi}{2}\), в которой выполнено данное неравенство. Если \(0\lt\varepsilon\le{2}\), то в окрестности точки \(\frac{\pi}{2}\) получим:
Если же \(\varepsilon\gt{2}\), то неравенство \(\sin{x}\gt{1-\varepsilon}\) выполнено при всех \(x\in{R}\), т.е. для любой окрестности точки \(\frac{\pi}{2}\) неравенство \(\left|\sin{x}-1\right|\lt\varepsilon\) в этом случае будет истинным. Для определённости можем рассмотреть, например, такую окрестность: \(\left|x-\frac{\pi}{2}\right|\lt{1}\).
Таким образом, для любого \(\varepsilon\gt{0}\) существует значение \(\delta_{\varepsilon}=\left\{\begin{aligned} & \frac{\pi}{2}-\arcsin(1-\varepsilon)\; 0\lt\varepsilon\le{2};\\& 1;\;\varepsilon\gt{2}. \end{aligned}\right.\) такое, что из неравенства \(0\lt\left|x-\frac{\pi}{2}\right|\lt\delta_{\varepsilon}\) следует неравенство \(\left|\sin{x}-1\right|\lt\varepsilon\). Мы доказали, что \(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin{x}=1\).
Чтобы ответить на второй вопрос задачи, достаточно принять \(\varepsilon=0{,}01\):
Утверждение задачи доказано, т.е. \(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin{x}=1\).
Неравенство \(1-\sin{x}\lt{0{,}01}\) в окрестности точки \(\frac{\pi}{2}\) будет выполнено при \(\left|x-\frac{\pi}{2}\right|\lt\frac{\pi}{2}-\arcsin{0{,}99}\).