Задача №1033

Предварительный анализ показывает, что члены последовательности равны 0 (при нечётных значениях \(n\)) или 2 (при чётных значениях \(n\)). Иными словами, расстояние между двумя соседними членами последовательности равно 2. Это можно показать и формально:

Предположим, что последовательность имеет предел, равный \(a\). Рассмотрим для числа \(a\) окрестность длины 2 (можно взять и меньшую длину), то есть интервал \(\left(a-1;a+1\right)\). Любые два соседних члена последовательности не могут находиться в ней одновременно, ибо расстояние меж ними равно 2. Значит, по крайней мере один из них будет лежать вне данной окрестности.

Таким образом, для произвольного числа \(a\) существует значение \(\varepsilon=1\) такое, что для любого натурального \(N\) найдётся значение \(n\ge{N}\), равное \(N\) или \(N+1\), для которого имеем \(\left|u_n-a\right|\ge\varepsilon\). Это значит, что последовательность расходится.

Это же утверждение легко доказать и по-иному, более формально, используя отрицание критерия Коши. Нам нужно показать, что существует такое \(\varepsilon\gt{0}\), что для любого натурального \(N\) найдутся значения \(n\ge{N}\) и \(m\ge{N}\), для которых \(\left|u_n-u_m\right|\ge\varepsilon\). Принимая, например, \(\varepsilon=2\), \(n=N+1\) и \(m=N\), имеем:

Это значит, что последовательность не имеет предела.

Можно и не использовать критерий Коши, отталкиваясь от определения предела. Если \(\lim_{n\to\infty}u_n=a\), то для любого \(\varepsilon\gt{0}\), в том числе и для \(\varepsilon=1\), существует номер \(N\) такой, что для всех номеров \(n\ge{N}\) выполнено неравенство \(\left|u_n-a\right|\lt\varepsilon\).

Однако условие \(\left|u_n-a\right|\lt{1}\) приводит к противоречию, так как для номеров \(N\) и \(N+1\) имеем:

Полученное противоречие, т.е. \(2\lt{2}\), говорит о том, что предположение о сходимости заданной последовательности - ложное, т.е. заданная последовательность не имеет предела.