0184-1

Курс
Высшая математика
→ Узнать подробности
Онлайн-занятия
От создателя Решебника
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №184 параграфа №1 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать, что последовательность [math]u_n=1+(-1)^n[/math] не имеет предела при неограниченном возрастании [math]n[/math].


Решение

Предварительный анализ показывает, что члены последовательности равны 0 (при нечётных значениях [math]n[/math]) или 2 (при чётных значениях [math]n[/math]). Иными словами, расстояние между двумя соседними членами последовательности равно 2. Это можно показать и формально:

[dmath] \left|u_{n+1}-u_{n}\right| =\left|1+(-1)^{n+1}-\left(1+(-1)^n\right)\right| =\left|-(-1)^{n}-(-1)^n\right| =\left|-2\cdot(-1)^n\right| =2 [/dmath]

Предположим, что последовательность имеет предел, равный [math]a[/math]. Рассмотрим для числа [math]a[/math] окрестность длины 2 (можно взять и меньшую длину), то есть интервал [math]\left(a-1;a+1\right)[/math]. Любые два соседних члена последовательности не могут находиться в ней одновременно, ибо расстояние меж ними равно 2. Значит, по крайней мере один из них будет лежать вне данной окрестности.

Таким образом, для произвольного числа [math]a[/math] существует значение [math]\varepsilon=1[/math] такое, что для любого натурального [math]N[/math] найдётся значение [math]n\ge{N}[/math], равное [math]N[/math] или [math]N+1[/math], для которого имеем [math]\left|u_n-a\right|\ge\varepsilon[/math]. Это значит, что последовательность расходится.


Это же утверждение легко доказать и по-иному, более формально, используя отрицание критерия Коши. Нам нужно показать, что существует такое [math]\varepsilon\gt{0}[/math], что для любого натурального [math]N[/math] найдутся значения [math]n\ge{N}[/math] и [math]m\ge{N}[/math], для которых [math]\left|u_n-u_m\right|\ge\varepsilon[/math]. Принимая, например, [math]\varepsilon=2[/math], [math]n=N+1[/math] и [math]m=N[/math], имеем:

[dmath] \left|u_{N+1}-u_{N}\right| =2 \ge\varepsilon [/dmath]

Это значит, что последовательность не имеет предела.

Можно и не использовать критерий Коши, отталкиваясь от определения предела. Если [math]\lim_{n\to\infty}u_n=a[/math], то для любого [math]\varepsilon\gt{0}[/math], в том числе и для [math]\varepsilon=1[/math], существует номер [math]N[/math] такой, что для всех номеров [math]n\ge{N}[/math] выполнено неравенство [math]\left|u_n-a\right|\lt\varepsilon[/math].

Однако условие [math]\left|u_n-a\right|\lt{1}[/math] приводит к противоречию, так как для номеров [math]N[/math] и [math]N+1[/math] имеем:

[dmath] 2=\left |u_{N+1}- u_{N}\right| =\left |(u_{N+1}-a)-(u_{N}-a) \right| \le\left |u_{N+1}-a\right|+\left |u_{N}-a\right| \lt{1+1} =2 [/dmath]

Полученное противоречие, т.е. [math]2\lt{2}[/math], говорит о том, что предположение о сходимости заданной последовательности - ложное, т.е. заданная последовательность не имеет предела.

Ответ

Утверждение доказано.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).