Задача №1032

Для данной последовательности имеем \(v_n=x_n\cdot{y_n}\), где \(x_n=\frac{1}{n}\), \(v_n=\cos\frac{\pi{n}}{2}\).

Так как \(x_n\to{0}\), то \(\{x_n\}\) – бесконечно малая последовательность. При этом из выполнения неравенства \(|y_n|\le{1}\) заключаем, что последовательность \(\{y_n\}\) – ограниченная. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью, т.е. \(\lim_{n\to\infty}v_n=0\).

Выясним, каким должно быть \(n\), чтобы выполнялось неравенство \(\left|v_n-0\right|\le{0{,}001}\), т.е.

Ввиду очевидного неравенства \(\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|\le\frac{1}{n}\) можем сделать вывод, что если \(\frac{1}{n}\le{0{,}001}\), т.е. \(n\ge{1000}\), то неравенство (1) будет выполнено. Однако же для случая \(n\lt{1000}\) мы не можем сказать ничего определённого, т.е. требуется дополнительное исследование.

Пусть \(n\lt{1000}\).

Если число \(n\) чётное, то \(\left|\cos\frac{\pi{n}}{2}\right|=1\), поэтому \(\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|=\frac{1}{n}\). Ввиду того, что \(n\lt{1000}\), имеем \(\frac{1}{n}\gt{0{,}001}\). Следовательно, при чётных значениях \(n\), меньших 1000, неравенство (1) выполнено не будет.

Если же число \(n\) нечётное, то \(\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|=0\), т.е. неравенство (1) будет выполнено.

Таким образом, мы приходим к следующему выводу: неравенство (1) будет истинным при всех \(n\in{N}\), для которых \(n\ge{1000}\) или же \(n\) – нечётное число, меньшее 1000, т.е. \(n=2k-1\), где \(k=\overline{1;500}\).

Последовательность \(v_n\) принимает значение своего предела при нечётных значениях \(n\), т.е. \(n=2k-1\), \(k\in{N}\).