0179-1
Информация о задаче
Задача №179 параграфа №1 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Функция [math]v_n[/math] принимает значения
[dmath] v_1=\frac{\cos\frac{\pi}{2}}{1};\; v_2=\frac{\cos\pi}{2};\; \ldots;\; v_n=\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n};\; \ldots [/dmath]
Найти [math]\lim_{n\to\infty}v_n[/math]. Каково должно быть [math]n[/math], чтобы абсолютная величина разности между [math]v_n[/math] и её пределом не превосходила [math]0{,}001[/math]? Принимает ли [math]v_n[/math] значение своего предела?
Решение
Для данной последовательности имеем [math]v_n=x_n\cdot{y_n}[/math], где [math]x_n=\frac{1}{n}[/math], [math]v_n=\cos\frac{\pi{n}}{2}[/math].
Так как [math]x_n\to{0}[/math], то [math]\{x_n\}[/math] – бесконечно малая последовательность. При этом из выполнения неравенства [math]|y_n|\le{1}[/math] заключаем, что последовательность [math]\{y_n\}[/math] – ограниченная. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью, т.е. [math]\lim_{n\to\infty}v_n=0[/math].
Выясним, каким должно быть [math]n[/math], чтобы выполнялось неравенство [math]\left|v_n-0\right|\le{0{,}001}[/math], т.е.
[dmath] \begin{equation} \left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|\le{0{,}001} \end{equation} [/dmath]
Ввиду очевидного неравенства [math]\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|\le\frac{1}{n}[/math] можем сделать вывод, что если [math]\frac{1}{n}\le{0{,}001}[/math], т.е. [math]n\ge{1000}[/math], то неравенство (1) будет выполнено. Однако же для случая [math]n\lt{1000}[/math] мы не можем сказать ничего определённого, т.е. требуется дополнительное исследование.
Пусть [math]n\lt{1000}[/math].
Если число [math]n[/math] чётное, то [math]\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|=1[/math], поэтому [math]\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|=\frac{1}{n}[/math]. Ввиду того, что [math]n\lt{1000}[/math], имеем [math]\frac{1}{n}\gt{0{,}001}[/math]. Следовательно, при чётных значениях [math]n[/math], меньших 1000, неравенство (1) выполнено не будет.
Если же число [math]n[/math] нечётное, то [math]\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|=0[/math], т.е. неравенство (1) будет выполнено.
Таким образом, мы приходим к следующему выводу: неравенство (1) будет истинным при всех [math]n\in{N}[/math], для которых [math]n\ge{1000}[/math] или же [math]n[/math] - нечётное число, меньшее 1000, т.е. [math]n=2k-1[/math], где [math]k=\overline{1;500}[/math].
Последовательность [math]v_n[/math] принимает значение своего предела при нечётных значениях [math]n[/math], т.е. [math]n=2k-1[/math], [math]k\in{N}[/math].
Ответ
- [math]\lim_{n\to\infty}v_n=0[/math]
- Неравенство [math]|v_n|\le{0{,}001}[/math] истинно при [math]n\ge{1000}[/math], а также при нечётных значениях [math]n[/math], меньших 1000.
- Последовательность принимает значение своего предела при нечётных значениях [math]n[/math].
