Задача №1031
Функция целочисленного аргумента принимает значения \(u_1=0{,}9\); \(u_2=0{,}99\); \(u_3=0{,}999\); ..., \(u_n=0{,}999\ldots{9}\). Чему равен \(\lim_{n\to\infty}u_n\)? Каково должно быть \(n\), чтобы абсолютная величина разности между \(u_n\) и её пределом была не больше \(0{,}0001\)?
Запишем члены последовательности в такой форме:
Таким образом каждый \(u_n\) член данной последовательности есть сумма \(n\) членов геометрической прогрессии с первым членом \(0{,}9\) и знаменателем \(0{,}1\). Сумму первых \(n\) членов этой прогрессии найдём по стандартной формуле:
Докажем, что \(\lim_{n\to\infty}u_n=1\). Рассмотрим неравенство \(\left|u_n-1\right|\lt\varepsilon\) при условии \(\varepsilon\gt{0}\):
Если \(0\lt\varepsilon\le{1}\), то \(\log_{0{,}1}\varepsilon\ge{0}\), посему \(\left[\log_{0{,}1}\varepsilon\right]+1\gt\log_{0{,}1}\varepsilon\). При этом \(\left(\left[\log_{0{,}1}\varepsilon\right]+1\right)\in{N}\).
Если же \(\varepsilon\gt{1}\), то \(\log_{0{,}1}\varepsilon\lt{0}\), поэтому неравенство \(n\gt\log_{0{,}1}\varepsilon\) будет истинным при всех \(n\in{N}\).
Таким образом, для любого \(\varepsilon\gt{0}\) существует номер \(n_{\varepsilon}=\left\{\begin{aligned}& \left[\log_{0{,}1}\varepsilon\right]+1;\;0\lt\varepsilon\le{1};\\& 1;\;\varepsilon\ge{1} \end{aligned}\right.\) такой, что при всех \(n\ge{n_\varepsilon}\) выполнено неравенство \(\left|u_n-1\right|\lt\varepsilon\). Это и доказывает, что \(\lim_{n\to\infty}u_n=1\).
Если \(\left|u_n-1\right|\le{0}{,}0001\), то \(0{,}1^n\le{0}{,}0001\), откуда \(n\ge{4}\).
\(\lim_{n\to\infty}u_n=1\). Неравенство \(\left|u_n-1\right|\le{0{,}0001}\) будет выполнено при \(n\ge{4}\).