0176-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №176 параграфа №1 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Функция целочисленного аргумента принимает значения [math]u_1=0{,}9[/math]; [math]u_2=0{,}99[/math]; [math]u_3=0{,}999[/math]; ..., [math]u_n=0{,}999\ldots{9}[/math]. Чему равен [math]\lim_{n\to\infty}u_n[/math]? Каково должно быть [math]n[/math], чтобы абсолютная величина разности между [math]u_n[/math] и её пределом была не больше [math]0{,}0001[/math]?

Решение

Запишем члены последовательности в такой форме:

[math] \begin{aligned} &u_1=0{,}9;\\ &u_2=0{,}9+0{,}09=0{,}9+0{,}9\cdot{0{,}1};\\ &u_3=0{,}9+0{,}09+0{,}009=0{,}9+0{,}9\cdot{0{,}1}+0{,}9\cdot{0{,}1}^2;\\ &u_4=0{,}9+0{,}09+0{,}009+0{,}0009=0{,}9+0{,}9\cdot{0{,}1}+0{,}9\cdot{0{,}1}^2+0{,}9\cdot{0{,}1}^3;\\ &\ldots\\ &u_n=0,9+0,09+0,009+0,0009+...+0,999\ldots{9}=0{,}9\cdot{0{,}1}^2+0{,}9\cdot{0{,}1}^3+\ldots+0{,}9\cdot{0{,}1}^{n-1}. \end{aligned} [/math]

Таким образом каждый [math]u_n[/math] член данной последовательности есть сумма [math]n[/math] членов геометрической прогрессии с первым членом [math]0{,}9[/math] и знаменателем [math]0{,}1[/math]. Сумму первых [math]n[/math] членов этой прогрессии найдём по стандартной формуле:

[math] u_n =S_n =\frac{0{,}9\cdot\left(1-0{,}1^n\right)}{1-0{,}1} =1-0{,}1^n [/math]

Докажем, что [math]\lim_{n\to\infty}u_n=1[/math]. Рассмотрим неравенство [math]\left|u_n-1\right|<\varepsilon[/math] при условии [math]\varepsilon>0[/math]:

[math] \left|1-0{,}1^n-1\right|<\varepsilon;\;0{,}1^n<\varepsilon;\; n>\log_{0{,}1}\varepsilon. [/math]

Если [math]0<\varepsilon<0{,}1[/math], то обозначим [math]n_\varepsilon=\left[\log_{0{,}1}\varepsilon\right][/math]. Если [math]\varepsilon≥0{,}1[/math], то положим [math]n_\varepsilon=1[/math]. Таким образом, для любого [math]\varepsilon>0[/math] существует номер [math]n_\varepsilon[/math] такой, что для всех [math]n>n_\varepsilon[/math] выполнено неравенство [math]\left|u_n-1\right|<\varepsilon[/math]. Это и доказывает, что [math]\lim_{n\to\infty}u_n=1[/math].

Если [math]\left|u_n-1\right|≤0{,}0001[/math], то [math]0{,}1^n≤0{,}0001[/math], откуда [math]n≥4[/math].

Ответ

[math]\lim_{n\to\infty}u_n=0[/math]. Неравенство [math]\left|u_n-1\right|≤0{,}0001[/math] будет выполнено при [math]n≥4[/math].