015-01-3

Информация о задаче

Задача №15 параграфа №1 "Общие приёмы и методы интегрирования" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №2, 2003 г.).

Условие задачи

Найти интегралы:

1. [math]\int\sin^6{x}\cos{x}dx[/math]
2. [math]\int\frac{\sin{x}dx}{1+\cos{x}}[/math]
3. [math]\int\frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}dx[/math]

Решение

Пункт №1

[dmath] \int\sin^6{x}\cos{x}dx =\int\sin^6{x}d(\sin{x}) =\frac{\sin^7{x}}{7}+C [/dmath]

Пункт №2

[dmath] \int\frac{\sin{x}dx}{1+\cos{x}} =-\int\frac{d(1+\cos{x})}{1+\cos{x}} =-\ln(1+\cos{x})+C [/dmath]

Пункт №3

[dmath] \int\frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}dx =-\int\cos\frac{1}{x}d\left(\frac{1}{x}\right) =-\sin\frac{1}{x}+C [/dmath]

Ответ

1. [math]\frac{\sin^7{x}}{7}+C[/math]
2. [math]-\ln(1+\cos{x})+C[/math]
3. [math]-\sin\frac{1}{x}+C[/math]