Задача №1887
Условие
Доказать равенство \(\arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}+\ldots+\arctg\frac{1}{2n^2}=\arctg\frac{n}{n+1}\).
Решение
Применим метод математической индукции. При \(n=1\) равенство выполнено. Пусть при \(n=k\) равенство верно, т.е.
\[\arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}+\ldots+\arctg\frac{1}{2k^2}=\arctg\frac{k}{k+1}\]
Докажем, что равенство будет верно и при \(n=k+1\):
\[
\arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}+\ldots+\arctg\frac{1}{2k^2}+\arctg\frac{1}{2(k+1)^2}
=\arctg\frac{k}{k+1}+\arctg\frac{1}{2(k+1)^2}
=\arctg\frac{k+1}{(k+1)+1}.
\]
При \(n=k+1\) равенство верно. Следовательно, согласно методу математической индукции, равенство верно при всех \(n\in{N}\).
Ответ:
Равенство доказано.