011-02-2

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №11 параграфа №2 "Элементы логики. Метод математической индукции" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать равенство [math]\arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}+\ldots+\arctg\frac{1}{2n^2}=\arctg\frac{n}{n+1}[/math].

Решение

Применим метод математической индукции. При [math]n=1[/math] равенство выполнено. Пусть при [math]n=k[/math] равенство верно, т.е.

[dmath]\arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}+\ldots+\arctg\frac{1}{2k^2}=\arctg\frac{k}{k+1}[/dmath]

Докажем, что равенство будет верно и при [math]n=k+1[/math]:

[dmath] \arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}+\ldots+\arctg\frac{1}{2k^2}+\arctg\frac{1}{2(k+1)^2} =\arctg\frac{k}{k+1}+\arctg\frac{1}{2(k+1)^2} =\arctg\frac{k+1}{(k+1)+1}. [/dmath]

При [math]n=k+1[/math] равенство верно. Следовательно, согласно методу математической индукции, равенство верно при всех [math]n\in{N}[/math].

Ответ

Равенство доказано.