011-02-2
Информация о задаче
Задача №11 параграфа №2 "Элементы логики. Метод математической индукции" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Доказать равенство [math]\arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}+\ldots+\arctg\frac{1}{2n^2}=\arctg\frac{n}{n+1}[/math].
Решение
Применим метод математической индукции. При [math]n=1[/math] равенство выполнено. Пусть при [math]n=k[/math] равенство верно, т.е.
[dmath]\arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}+\ldots+\arctg\frac{1}{2k^2}=\arctg\frac{k}{k+1}[/dmath]
Докажем, что равенство будет верно и при [math]n=k+1[/math]:
[dmath] \arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}+\ldots+\arctg\frac{1}{2k^2}+\arctg\frac{1}{2(k+1)^2} =\arctg\frac{k}{k+1}+\arctg\frac{1}{2(k+1)^2} =\arctg\frac{k+1}{(k+1)+1}. [/dmath]
При [math]n=k+1[/math] равенство верно. Следовательно, согласно методу математической индукции, равенство верно при всех [math]n\in{N}[/math].
Ответ
Равенство доказано.
