010-04-3
Информация о задаче
Задача №10 параграфа №4 "Интегрирование трансцендентных функций" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №2, 2003 г.).
Условие задачи
Найти интегралы:
- [math]\int\frac{dx}{\sh{x}\ch^2{x}}[/math]
- [math]\int\frac{dx}{\sh^3{x}\ch^2{x}}[/math]
- [math]\int\frac{dx}{\ch^5{x}}[/math]
- [math]\int\frac{\sh^4{x}}{\ch^3{x}}[/math]
Решение
Пункт №3
[dmath] \int\frac{dx}{\ch^5{x}} =\left[\begin{aligned} &u=\frac{1}{\ch^3{x}};\;du=-\frac{3\sh{x}}{\ch^4{x}}dx;\\ &dv=\frac{dx}{\ch^2{x}};\;v=\th{x}. \end{aligned}\right] =\frac{\th{x}}{\ch^3{x}}+3\int\frac{\th{x}\cdot\sh{x}}{\ch^4{x}}dx=\\ =\frac{\th{x}}{\ch^3{x}}+3\int\frac{\sh^2{x}}{\ch^5{x}}dx =\frac{\th{x}}{\ch^3{x}}+3\int\frac{\ch^2{x}-1}{\ch^5{x}}dx =\frac{\th{x}}{\ch^3{x}}+3\int\frac{dx}{\ch^3{x}}-3\int\frac{dx}{\ch^5{x}}. [/dmath]
Из полученного равенства имеем:
[dmath] \int\frac{dx}{\ch^5{x}} =\frac{\th{x}}{4\ch^3{x}}+\frac{3}{4}\cdot\int\frac{dx}{\ch^3{x}} \tag{3.1}\label{3.1} [/dmath]
Отдельно рассмотрим интеграл [math]\int\frac{dx}{\ch^3{x}}[/math]:
[dmath] \int\frac{dx}{\ch^3{x}} =\left[\begin{aligned} &u=\frac{1}{\ch{x}};\;du=-\frac{3\sh{x}}{\ch^2{x}}dx;\\ &dv=\frac{dx}{\ch^2{x}};\;v=\th{x}. \end{aligned}\right] =\frac{\th{x}}{\ch{x}}+\int\frac{\th{x}\cdot\sh{x}}{\ch^2{x}}dx=\\ =\frac{\th{x}}{\ch{x}}+\int\frac{\sh^2{x}}{\ch^3{x}}dx =\frac{\th{x}}{\ch{x}}+\int\frac{\ch^2{x}-1}{\ch^3{x}}dx =\frac{\th{x}}{\ch{x}}+\int\frac{dx}{\ch{x}}-\int\frac{dx}{\ch^3{x}}. [/dmath]
Из полученного равенства имеем:
[dmath] \int\frac{dx}{\ch^3{x}} =\frac{\th{x}}{2\ch{x}}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\ch{x}} =\frac{\th{x}}{2\ch{x}}+\int\frac{dx}{e^x+e^{-x}} =\frac{\th{x}}{2\ch{x}}+\int\frac{e^xdx}{e^{2x}+1} =\frac{\th{x}}{2\ch{x}}+\arctg{e^x}+C. [/dmath]
Возвращаясь к равенству [math]\eqref{3.1}[/math], получим:
[dmath] \int\frac{dx}{\ch^5{x}} =\frac{\th{x}}{4\ch^3{x}}+\frac{3\th{x}}{8\ch{x}}+\frac{3\arctg{e^x}}{4}+C [/dmath]
Ответ
- Ответ к пункту №1
- Ответ к пункту №2
- [math]\frac{\th{x}}{4\ch^3{x}}+\frac{3\th{x}}{8\ch{x}}+\frac{3\arctg{e^x}}{4}+C[/math]
