010-04-2

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №10 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что для любых чисел [math]a[/math] и [math]b[/math] справедливы равенства:

  1. [math]a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}.[/math]
  2. [math]a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k}.[/math]

Решение

Отмечу, что в первом пункте при [math]k=0[/math] получим слагаемое [math]b^0 a^n[/math], которое не имеет смысла при [math]b=0[/math]. Если же [math]k=n[/math], то получим слагаемое [math]b^n a^0[/math], не имеющее смысла при [math]a=0[/math]. Поэтому значения [math]a=0[/math] и [math]b=0[/math] нужно исключить из рассмотрения. Аналогичные замечания касаются и второго пункта. Т.е. формулы верны не для "любых чисел [math]a[/math] и [math]b[/math]", а для чисел [math]a[/math] и [math]b[/math], отличных от нуля.


Пункт №1

[dmath] (a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k} =\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=0}^{n}b^{k+1}a^{n-k}=\\ =a^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k}-b^{n+1} =a^{n+1}-b^{n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k} =a^{n+1}-b^{n+1} [/dmath]

Пункт №2

[dmath] (a+b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k} =\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k} =a^{2n+1}+\sum\limits_{k=1}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k+1}+b^{2n+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k}=\\ =a^{2n+1}+b^{2n+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^{k+1}b^{k+1}a^{2n-k}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k} =a^{2n+1}+b^{2n+1}-\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^{k}b^{k+1}a^{2n-k}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k} =a^{2n+1}+b^{2n+1}. [/dmath]

Ответ

Равенства доказаны.