010-01-2
Информация о задаче
Задача №10 параграфа №1 "Множества. Комбинаторика" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Найти подмножества [math]A[/math] и [math]B[/math] множества [math]U[/math], если известно, что для любого множества [math]X\subset{U}[/math] верно равенство [math]X\cap{A}=X\cup{B}[/math].
Решение
Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому подставляя [math]X=\varnothing[/math] в заданное равенство, получим:
[dmath]\varnothing\cap{A}=\varnothing\cup{B};\;B=\varnothing.[/dmath]
Далее, любое множество является подмножеством самого себя, поэтому подставляя [math]X=U[/math] будем иметь:
[dmath]U\cap{A}=U\cup{B};\;A=U.[/dmath]
Проверим, действительно ли равенство [math]X\cap{A}=X\cup{B}[/math] истинно при [math]A=U[/math], [math]B=\varnothing[/math]:
[dmath] \begin{aligned} & X\cap{A} = X\cap{U} = X;\\ & X\cup{B} = X\cup{\varnothing}=X. \end{aligned} [/dmath]
Равенство истинно.
Ответ
[math]A=U[/math], [math]B=\varnothing[/math].
