Задача №1880
Условие
Найти подмножества \(A\) и \(B\) множества \(U\), если известно, что для любого множества \(X\subset{U}\) верно равенство \(X\cap{A}=X\cup{B}\).
Решение
Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому подставляя \(X=\varnothing\) в заданное равенство, получим:
\[\varnothing\cap{A}=\varnothing\cup{B};\;B=\varnothing.\]
Далее, любое множество является подмножеством самого себя, поэтому подставляя \(X=U\) будем иметь:
\[U\cap{A}=U\cup{B};\;A=U.\]
Проверим, действительно ли равенство \(X\cap{A}=X\cup{B}\) истинно при \(A=U\), \(B=\varnothing\):
\[
\begin{aligned}
& X\cap{A} = X\cap{U} = X;\\
& X\cup{B} = X\cup{\varnothing}=X.
\end{aligned}
\]
Равенство истинно.
Ответ:
\(A=U\), \(B=\varnothing\).