010-01-2

Информация о задаче

Задача №10 параграфа №1 "Множества. Комбинаторика" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Найти подмножества [math]A[/math] и [math]B[/math] множества [math]U[/math], если известно, что для любого множества [math]X\subset{U}[/math] верно равенство [math]X\cap{A}=X\cup{B}[/math].

Решение

Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому подставляя [math]X=\varnothing[/math] в заданное равенство, получим:

[dmath]\varnothing\cap{A}=\varnothing\cup{B};\;B=\varnothing.[/dmath]

Далее, любое множество является подмножеством самого себя, поэтому подставляя [math]X=U[/math] будем иметь:

[dmath]U\cap{A}=U\cup{B};\;A=U.[/dmath]

Ответ

[math]A=U[/math], [math]B=\varnothing[/math].