009-02-2
Информация о задаче
Задача №9 параграфа №2 "Элементы логики. Метод математической индукции" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Доказать, что при каждом [math]n\in{N}[/math] справедливо неравенство Бернулли: [math](1+a)^{n}\ge{1+na}[/math], [math]a\gt{-1}[/math].
Решение
Первый способ
Применим метод математической индукции. При [math]n=1[/math] получим верное неравенство [math]1+a\ge{1+a}[/math]. Пусть неравенство верно при [math]n=k[/math], т.е. [math](1+a)^{k}\ge{1+ka}[/math]. Докажем, что оно будет выполнено и при [math]n=k+1[/math].
Так как [math]a\gt{-1}[/math], то [math]a+1\gt{0}[/math]. Домножая обе части неравенства [math](1+a)^{k}\ge{1+ka}[/math] на [math]1+a[/math], получим:
[dmath](1+a)^{k+1}\ge{(1+ka)(1+a)}=1+(k+1)a+ka^2\ge{1+(k+1)a}[/dmath]
Итак, при [math]n=k+1[/math] неравенство верно. Следовательно, согласно методу математической индукции, неравенство верно при всех [math]n\in{N}[/math].
Второй способ
Пусть [math]0\lt{t}\lt{1}[/math], тогда [math]t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+1\le{n}[/math]. Домножая обе части данного неравенства на [math]t-1[/math] и учитывая, что [math]t-1\lt{0}[/math], получим:
[dmath]
(t-1)\left(t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+1\right)\ge{n\cdot(t-1)}
[/dmath]
[dmath] \begin{equation} t^n-1\ge{n\cdot(t-1)} \end{equation} [/dmath]
Аналогично, при [math]t\ge{1}[/math] получим: [math]t^{n-1}+t^{n-2}+...+1\ge{n}[/math]. После домножения обеих частей данного неравенства на [math]t-1[/math], получим в конечном итоге то же неравенство (1), что и в предыдущем случае. Таким образом, неравенство (1) верно при [math]t\gt{0}[/math]. Преобразуем данное неравенство:
[dmath] t^n\ge{1+n(t-1)} [/dmath]
Заменяя [math]t=a+1[/math] при условии [math]a\gt{-1}[/math], получим искомое неравенство: [math](1+a)^{n}\ge{1+na}[/math], [math]a\gt{-1}[/math].
Ответ
Неравенство доказано.
