Задача №1882

Первый способ

Применим метод математической индукции. При \(n=1\) получим верное неравенство \(1+a\ge{1+a}\). Пусть неравенство верно при \(n=k\), т.е. \((1+a)^{k}\ge{1+ka}\). Докажем, что оно будет выполнено и при \(n=k+1\).

Так как \(a\gt{-1}\), то \(a+1\gt{0}\). Домножая обе части неравенства \((1+a)^{k}\ge{1+ka}\) на \(1+a\), получим:

Итак, при \(n=k+1\) неравенство верно. Следовательно, согласно методу математической индукции, неравенство верно при всех \(n\in{N}\).

Второй способ

Пусть \(0\lt{t}\lt{1}\), тогда \(t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+1\le{n}\). Домножая обе части данного неравенства на \(t-1\) и учитывая, что \(t-1\lt{0}\), получим:

Аналогично, при \(t\ge{1}\) получим: \(t^{n-1}+t^{n-2}+...+1\ge{n}\). После домножения обеих частей данного неравенства на \(t-1\), получим в конечном итоге то же неравенство (1), что и в предыдущем случае. Таким образом, неравенство (1) верно при \(t\gt{0}\). Преобразуем данное неравенство:

Заменяя \(t=a+1\) при условии \(a\gt{-1}\), получим искомое неравенство: \((1+a)^{n}\ge{1+na}\), \(a\gt{-1}\).