Задача №1029
Условие
Представить число \(a\) в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.
Решение
Пусть \(a=x+y\), тогда \(y=a-x\). Обозначим \(f=x\cdot{y}\).
\[
f=x\cdot(a-x)
=\frac{a^2}{4}-\left(x-\frac{a}{2}\right)^2
\le\frac{a^2}{4}
\]
Полученное выражение примет наибольшее значение \(\frac{a^2}{4}\) в том случае, если скобка \(\left(x-\frac{a}{2}\right)^2\) будет равна 0, т.е. \(x=\frac{a}{2}\).
Ответ:
Слагаемые равны \(\frac{a}{2}\).