008-09-2
Информация о задаче
Задача №8 параграфа №9 "Предел функции" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Доказать, что [math]\lim_{x\to+\infty}f(x)[/math] не существует, если:
- [math]f(x)=\cos{x}[/math]
- [math]f(x)=x-E(x)[/math]
Решение
Пункт №1
Рассмотрим две последовательности: [math]x_n=2\pi{n}[/math] и [math]y_n=\frac{\pi}{2}+\pi{n}[/math]. При [math]n\to\infty[/math] имеем [math]x_n\to+\infty[/math] и [math]y_n\to+\infty[/math].
[dmath] \begin{aligned} & \lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right) =\lim_{n\to\infty}\cos\left(2\pi{n}\right) =1.\\ & \lim_{n\to\infty}f\left(y_n\right) =\lim_{n\to\infty}\cos\left(\frac{\pi}{2}+\pi{n}\right) =0. \end{aligned} [/dmath]
Так как [math]\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)\neq\lim_{n\to\infty}f\left(y_n\right)[/math], то [math]\lim_{x\to+\infty}f(x)[/math] не существует.
Пункт №2
Рассмотрим две последовательности: [math]x_n=n[/math] и [math]y_n=n+\frac{1}{2}[/math]. При [math]n\to\infty[/math] имеем [math]x_n\to+\infty[/math] и [math]y_n\to+\infty[/math].
[dmath] \begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right) =\lim_{n\to\infty}\left(n-E(n)\right) =\lim_{n\to\infty}(n-n) =\lim_{n\to\infty}{0} =0.\\ &\lim_{n\to\infty}f\left(y_n\right) =\lim_{n\to\infty}\left(n+\frac{1}{2}-E\left(n+\frac{1}{2}\right)\right) =\lim_{n\to\infty}\left(n+\frac{1}{2}-n\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2} =\frac{1}{2}. \end{aligned} [/dmath]
Так как [math]\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)\neq\lim_{n\to\infty}f\left(y_n\right)[/math], то [math]\lim_{x\to+\infty}f(x)[/math] не существует.
Ответ
Оба пункта доказаны.
