Решение
Попытка раскрыть скобки и перенести все слагаемые в левую часть равенства приводит нас к такой гипотезе:
\[
\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots+b_{n-1}^{2}\right)\cdot\left(b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\ldots+b_{n}^{2}\right)-\left(b_1b_2+b_2b_3+\ldots+b_{n-1}b_n\right)^2
=\sum\limits_{j=1}^{n-2}\sum\limits_{i=j+2}^{n}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2
\]
Впрочем, удобнее использовать более компактную запись:
\[
\begin{equation}
\sum\limits_{i=1}^{n-1}b_{i}^{2}\cdot\sum\limits_{i=2}^{n}b_{i}^{2}-\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1}b_ib_{i+1}\right)^2
=\sum\limits_{j=1}^{n-2}\sum\limits_{i=j+2}^{n}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2
\label{eq:1}
\end{equation}
\]
Докажем эту гипотезу методом математической индукции. Сперва проверим её при \(n=3\). Запишем обе части равенства \(\eqref{eq:1}\) при \(n=3\):
\[
\begin{aligned}
& \left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)\cdot\left(b_{2}^{2}+b_{3}^{2}\right)-\left(b_1b_2+b_2b_3\right)^2
=b_{1}^{2}b_{3}^{2}-2b_1b_{2}^{2}b_3+b_{2}^{4}
=\left(b_1b_3-b_{2}^{2}\right)^2.\\
& \sum\limits_{j=1}^{1}\sum\limits_{i=j+2}^{3}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2
=\sum\limits_{i=3}^{3}\left(b_1b_i-b_2b_{i-1}\right)^2
=\left(b_1b_3-b_2b_2\right)^2
=\left(b_1b_3-b_{2}^{2}\right)^2.
\end{aligned}
\]
Как видим, при \(n=3\) равенство верно. Пусть равенство \(\eqref{eq:1}\) истинно при \(n=k\), т.е.
\[
\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2}\cdot\sum\limits_{i=2}^{k}b_{i}^{2}-\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_ib_{i+1}\right)^2
=\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2
\]
Докажем, что оно истинно и при \(n=k+1\).
\[
\sum\limits_{i=1}^{k}b_{i}^{2}\cdot\sum\limits_{i=2}^{k+1}b_{i}^{2}-\left(\sum\limits_{i=1}^{k}b_ib_{i+1}\right)^2
=\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2}+b_{k}^{2}\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=2}^{k}b_{i}^{2}+b_{k+1}^{2}\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_ib_{i+1}+b_kb_{k+1}\right)^2=\\
=\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2}\cdot\sum\limits_{i=2}^{k}b_{i}^{2}-\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_ib_{i+1}\right)^2+b_{k}^{2}\sum\limits_{i=2}^{k}b_{i}^{2}+b_{k+1}^{2}\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2}
-2b_kb_{k+1}\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_ib_{i+1}=\\
=\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2
+b_{k}^{2}\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2}
+b_{k+1}^{2}\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2}
-2b_kb_{k+1}\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_ib_{i+1}=\\
=\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2
+\sum\limits_{i=1}^{k-1}\left(b_ib_{k+1}-b_{i+1}b_k\right)^2
=\sum\limits_{j=1}^{k-1}\sum\limits_{i=j+2}^{k+1}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2
\]
Равенство доказано при \(n=k+1\). Если последнее равенство записанной выше цепочки вам кажется не очевидным, то его легко проверить, сделав переход от выражения в правой части к выражению в левой части равенства:
\[
\sum\limits_{j=1}^{k-1}\sum\limits_{i=j+2}^{k+1}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2
=\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k+1}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2+\left(b_{k-1}b_{k+1}-b_{k}^{2}\right)^2=\\
=\sum\limits_{j=1}^{k-2}\left(\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2+\left(b_jb_{k+1}-b_{j+1}b_{k}\right)^2\right)+\left(b_{k-1}b_{k+1}-b_{k}^{2}\right)^2=\\
=\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2+\sum\limits_{j=1}^{k-1}\left(b_jb_{k+1}-b_{j+1}b_k\right)^2
\]
Итак, формула \(\eqref{eq:1}\) истинна при \(n\ge{3}\). Таким образом, заданное по условию равенство можно записать так:
\[
\begin{equation}
\sum\limits_{j=1}^{n-2}\sum\limits_{i=j+2}^{n}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0.
\label{eq:2}
\end{equation}
\]
Теперь обратимся к последовательности \(\left\{b_n\right\}\) и докажем, что выполнение равенства \(\eqref{eq:2}\) является необходимым и достаточным условием того, что \(\left\{b_n\right\}\) – геометрическая прогрессия.
Сперва докажем необходимость. Покажем, что если \(\left\{b_n\right\}\) является геометрической прогрессией, то равенство \(\eqref{eq:2}\) истинно. Если \(\left\{b_n\right\}\) – геометрическая прогрессия, то \(b_k=b_1q^{k-1}\).
\[
\sum\limits_{j=1}^{n-2}\sum\limits_{i=j+2}^{n}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2
=\sum\limits_{j=1}^{n-2}\sum\limits_{i=j+2}^{n}\left(b_1q^{i+j-2}-b_1q^{i+j-2}\right)^2
=0.
\]
Необходимость доказана. Докажем теперь достаточность, т.е. что из выполнения равенства \(\eqref{eq:2}\) следует, что \(\left\{b_n\right\}\) – геометрическая прогрессия. Можно, конечно, эту достаточность показать умозрительными рассуждениями, но лучше подойти к вопросу формально. Докажем, что при любом \(n\ge{3}\) из выполнения равенства \(\eqref{eq:2}\) следует, что \(\frac{b_{i}}{b_{i-1}}=q\), \(i=\overline{2;\;n}\). Иными словами, что \(\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=\ldots=\frac{b_n}{b_{n-1}}=q\). Напомню, что согласно условию, члены последовательности \(\left\{b_n\right\}\) отличны от нуля.
Для доказательства используем метод математической индукции. При \(n=3\) имеем:
\[
\sum\limits_{j=1}^{1}\sum\limits_{i=j+2}^{3}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0;\;
\sum\limits_{i=3}^{3}\left(b_1b_i-b_2b_{i-1}\right)^2=0;\;
\left(b_1b_3-b_2^2\right)^2=0;\;
b_2^2=b_1b_3.
\]
Равенство \(b_2^2=b_1b_3\) говорит о том, что \(b_1\), \(b_2\) и \(b_3\) – члены геометрической прогрессии. Из данного равенства сразу следует вывод \(\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=q\).
Пусть при \(n=k\) из истинности равенства \(\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0\) следует \(\frac{b_{i}}{b_{i-1}}=q\), \(i=\overline{2;\;k}\). Докажем, что при \(n=k+1\) из выполнения равенства \(\sum\limits_{j=1}^{k-1}\sum\limits_{i=j+2}^{k+1}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0\) следует \(\frac{b_{i}}{b_{i-1}}=q\), \(i=\overline{2;\;k+1}\).
\[
\sum\limits_{j=1}^{k-1}\sum\limits_{i=j+2}^{k+1}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0;\\
\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2+\sum\limits_{j=1}^{k-1}\left(b_jb_{k+1}-b_{j+1}b_k\right)^2=0\;\Leftrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0;\\
& \sum\limits_{j=1}^{k-1}\left(b_jb_{k+1}-b_{j+1}b_k\right)^2=0.
\end{aligned}\right.
\]
Из первого равенства системы согласно сделанному предположению имеем \(\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=\ldots=\frac{b_k}{b_{k-1}}=q\). Из второго равенства системы имеем, что для всех \(j\) от 1 до \(k-1\) верно равенство:
\[
b_jb_{k+1}-b_{j+1}b_k=0;\;
\frac{b_{j+1}}{b_j}=\frac{b_{k+1}}{b_k}.
\]
Иными словами, это означает, что \(\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=\ldots=\frac{b_k}{b_{k-1}}=\frac{b_{k+1}}{b_k}=q\), т.е. доказываемое утверждение истинно и при \(n=k+1\). Следовательно, при любом \(n\ge{3}\) из выполнения равенства \(\eqref{eq:2}\) следует, что последовательность \(\left\{b_n\right\}\) является геометрической прогрессией.