008-01-2

Информация о задаче

Задача №8 параграфа №1 "Множества. Комбинаторика" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Пусть [math]A[/math] и [math]B[/math] – произвольные подмножества множества [math]U[/math]. Доказать равенство:

1. [math](A\backslash{B})'=A'\cup{B}[/math]
2. [math](A\cap{B'})\cup(A'\cap{B})=A\cup{B}[/math]
3. [math](A\cup{B})\cap(A'\cup{B'})=A\cup{B}[/math]

Решение

В условии пунктов №2 и №3 ошибки, т.е. указанные в них равенства неверные. Поэтому вместо решения здесь можно разве что обосновать некорректность условия. Ну, и если есть возможность связаться с автором – сообщите ему об этом.

Пункт №1

Данное равенство можно доказать несколькими путями.

Первый способ

Пусть [math]x\in(A\backslash{B})'[/math]. Тогда [math]x\notin{A\backslash{B}}[/math].

Рассмотрим два случая: [math]x\in{B}[/math] и [math]x\notin{B}[/math]. Если [math]x\in{B}[/math], то условие [math]x\notin{A\backslash{B}}[/math] будет выполнено вне зависимости от того, принадлежит элемент [math]x[/math] множеству [math]A[/math] или нет. Если [math]x\notin{B}[/math], то из двух вариантов ([math]x\in{A}[/math] и [math]x\notin{A}[/math]) условие [math]x\in(A\backslash{B})'[/math] будет выполнено лишь в том случае, когда [math]x\notin{A}[/math]. Таким образом, если [math]x\in(A\backslash{B})'[/math], то имеем два случая:

1. [math]x\in{B}[/math]
2. [math]x\notin{B}[/math], [math]x\notin{A}[/math]

Как в первом, так и во втором случаях имеем [math]x\in{A'\cup{B}}[/math], т.е. [math](A\backslash{B})'\subset{A'\cup{B}}[/math].

Если [math]x\in{A'\cup{B}}[/math], то [math]x\in{A'}[/math] (т.е. [math]x\notin{A}[/math]) или [math]x\in{B}[/math]. Как в первом, так и во втором случае [math]x\in(A\backslash{B})'[/math], т.е. [math]A'\cup{B}\subset(A\backslash{B})'[/math].

Исходя из полученных результатов, имеем [math](A\backslash{B})'=A'\cup{B}[/math].

Второй способ

Применим таблицы принадлежности

[math]\chi_{A}(x)[/math]	[math]\chi_{B}(x)[/math]	[math]\chi_{A\backslash{B}}(x)[/math]	[math]\chi_{(A\backslash{B})'}(x)[/math]	[math]\chi_{A'\cup{B}}(x)[/math]
0	0	0	1	1
0	1	0	1	1
1	0	1	0	0
1	1	0	1	1

Совпадение последних двух столбцов говорит о том, что [math](A\backslash{B})'=A'\cup{B}[/math].

Третий способ

Применим характеристические функции.

[dmath] \chi_{(A\backslash{B})'}(x) =1-\chi_{A\backslash{B}}(x) =1-\left(\chi_{A}(x)-\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x)\right) =1-\chi_{A}(x)+\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x) [/dmath]

[dmath] \chi_{A'\cup{B}}(x) =\chi_{A'}(x)+\chi_{B}(x)-\chi_{A'}(x)\cdot\chi_{B}(x)=\\ =1-\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x)-\left(1-\chi_{A}(x)\right)\cdot\chi_{B}(x) =1-\chi_{A}(x)+\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x) [/dmath]

Следовательно, [math]\chi_{(A\backslash{B})'}(x)=\chi_{A'\cup{B}}(x)[/math], т.е. равенство [math](A\backslash{B})'=A'\cup{B}[/math] верно.

Пункт №2

Покажем, что равенство [math](A\cap{B'})\cup(A'\cap{B})=A\cup{B}[/math] неверно. Пусть [math]x\in{A}[/math], [math]x\in{B}[/math]. Тогда [math]x\in{A\cup{B}}[/math], однако [math]x\notin(A\cap{B'})\cup(A'\cap{B})[/math]. Следовательно, [math]A\cup{B}\not\subset(A\cap{B'})\cup(A'\cap{B})[/math], а это означает, что указанное в условии равенство неверно.

Пункт №3

Покажем, что равенство [math](A\cup{B})\cap(A'\cup{B'})=A\cup{B}[/math] неверно. Пусть [math]x\in{A}[/math], [math]x\in{B}[/math]. Тогда [math]x\in{A\cup{B}}[/math], однако [math]x\notin(A\cup{B})\cap(A'\cup{B'})[/math]. Следовательно, [math]A\cup{B}\not\subset(A\cup{B})\cap(A'\cup{B'})[/math], а это означает, что указанное в условии равенство неверно.

Ответ

Равенство в пункте №1 доказано; равенства в пункта №2 и №3 ошибочны.