007-04-2
Информация о задаче
Задача №7 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Найти следующие суммы:
- [math]1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{n}[/math]
- [math]\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\ldots+\frac{2n-1}{2^n}[/math]
- [math]1+2x+3x^2+\ldots+(n+1)x^n[/math]
- [math]x^n+2x^{n-1}+\ldots+(n-1)x^2+nx[/math]
Решение
В самом начале решения стоит рассмотреть пару общих формул, которые будут необходимы в дальнейшем. Для начала рассмотрим сумму [math]S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k[/math]. Если [math]q=1[/math], то получим:
[dmath] S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k =\frac{(n+1)n}{2} [/dmath]
Рассмотрим случай [math]q\neq{1}[/math] в предположении, что [math]n\ge{2}[/math].
[dmath] S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k =q+\sum\limits_{k=2}^{n}kq^k =q+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(k+1)q^{k+1} =q+q\sum\limits_{k=1}^{n-1}kq^k+\sum\limits_{k=1}^{n-1}q^{k+1}=\\ =q+q\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k-nq^n\right)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}q^{k+1} =q+q\cdot\left(S_n-nq^n\right)+\frac{q^2\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q} [/dmath]
Мы пришли к равенству
[dmath] S_n=q+qS_n-nq^{n+1}+\frac{q^2\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q} [/dmath]
Из этого равенства имеем:
[dmath] \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^{n}kq^k=\frac{q\left(1-nq^n\right)}{1-q}+\frac{q^2\left(1-q^{n-1}\right)}{(1-q)^2};\;q\neq{1}. \label{eq:1} \end{equation} [/dmath]
К слову сказать, хоть и выводили мы эту формулу при условии [math]n\ge{2}[/math], однако же она даёт верный результат и при [math]n=1[/math].
Если в выражение [math]\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k[/math] вместо [math]q[/math] подставить [math]\frac{1}{q}[/math], то с учётом [math]\left(\frac{1}{q}\right)^k=\frac{1}{q^k}[/math], можно записать формулу [math]\eqref{eq:1}[/math] в таком виде:
[dmath] \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{q^k} =\frac{1-nq^{-n}}{q-1}+\frac{1-q^{1-n}}{(q-1)^2};\;q\neq{1}. \label{eq:2} \end{equation} [/dmath]
Теперь обратимся непосредственно к самой задаче.
Пункт №1
Запишем каждое слагаемое в заданной сумме в таком виде:
[dmath] \underbrace{11\ldots{1}}_{k}=1+10+100+\ldots+10^{k-1} [/dmath]
Заданная сумма будет содержать [math]n[/math] слагаемых, равных 1; [math]n-1[/math] слагаемых, равных 10; [math]n-2[/math] слагаемых, равных [math]10^2[/math] и т.д., т.е. слагаемое [math]10^{i}[/math] будет повторено [math]n-i[/math] раз. Это значит, что заданную сумму можно записать в таком виде:
[dmath] n+(n-1)10^1+(n-2)10^2+\ldots+10^{n-1} =\sum\limits_{i=0}^{n-1}(n-i)10^{i} [/dmath]
Честно говоря, подобные умозрительные рассуждения всегда казались мне довольно зыбкими. Однако несложно подвести под них прочный фундамент, для чего используем метод математической индукции. Гипотеза такова:
[dmath] 1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{n}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(n-i)10^{i} [/dmath]
При [math]n=1[/math] равенство истинно. Пусть оно истинно и при [math]n=k[/math], т.е.
[dmath] 1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{k}=\sum\limits_{i=0}^{k-1}(k-i)10^{i} [/dmath]
Докажем истинность равенства и при [math]n=k+1[/math]:
[dmath] 1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{k+1} =1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{k}+\underbrace{11\ldots{1}}_{k+1}=\\ =\sum\limits_{i=0}^{k-1}(k-i)10^{i}+\underbrace{11\ldots{1}}_{k+1} =\sum\limits_{i=0}^{k}(k-i)10^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}10^{i} =\sum\limits_{i=0}^{k}(k-i+1)10^{i} =\sum\limits_{i=0}^{(k+1)-1}((k+1)-i)10^{i} [/dmath]
Итак, при [math]n=k+1[/math] равенство выполнено. Значит, оно выполняется для любого [math]n\in{N}[/math]. Теперь вернёмся к исходной задаче. Используя формулу [math]\eqref{eq:1}[/math], будем иметь:
[dmath] \sum\limits_{i=0}^{n-1}(n-i)10^{i} =n+\sum\limits_{i=1}^{n}(n-i)10^{i} =n+n\sum\limits_{i=1}^{n}10^{i}-\sum\limits_{i=1}^{n}i10^{i}=\\ =n+n\cdot\frac{10\cdot\left(10^n-1\right)}{9}+\frac{10\left(1-n\cdot{10^n}\right)}{9}-\frac{100\left(1-10^{n-1}\right)}{81} =\frac{10^{n+1}-9n-10}{81}. [/dmath]
Пункт №2
С учётом формулы [math]\eqref{eq:2}[/math] решение данного пункта тривиально. Разбиваем сумму на две и применяем готовые формулы:
[dmath] \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2^i} =2\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{2^i}-\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^i =\ldots [/dmath]
Пункт №3
Разбиваем сумму на две, затем применяем формулу [math]\eqref{eq:1}[/math] при условии [math]x\neq{1}[/math]: [dmath] 1+\sum\limits_{i=1}^{n}(i+1)x^{i} =1+\sum\limits_{i=1}^{n}ix^{i}+\sum\limits_{i=1}^{n}x^{i} =\ldots [/dmath]
Если же [math]x=1[/math], то мы получим сумму первых [math]n+1[/math] членов арифметической прогрессии, у которой первый член и разность равны 1, т.е.
[dmath] 1+2+\ldots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} [/dmath]
Пункт №4
Разбиваем сумму на две, затем применяем формулу [math]\eqref{eq:1}[/math] при условии [math]x\neq{1}[/math]: [dmath] \sum\limits_{i=1}^{n}(n+1-i)x^{i} =(n+1)\sum\limits_{i=1}^{n}x^{i}-\sum\limits_{i=1}^{n}ix^{i} =\ldots [/dmath]
Если же [math]x=1[/math], то мы получим сумму первых [math]n[/math] членов арифметической прогрессии, у которой первый член и разность равны 1, т.е.
[dmath] 1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} [/dmath]
Ответ
- [math]\frac{10^{n+1}-9n-10}{81}[/math]
В пунктах №2, №3 и №4 решение аналогично пункту №1.
