007-03-2
Информация о задаче
Задача №7 параграфа №3 "Действительные числа" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Доказать, что если [math]|b|\lt\frac{|a|}{2}[/math], то [math]\frac{1}{|a-b|}\lt\frac{2}{|a|}[/math].
Решение
Сразу отмечу, что из условия [math]|b|\lt\frac{|a|}{2}[/math] имеем [math]|a|\gt{0}[/math]. Докажем вспомогательное неравенство:
[dmath] |a-b|\ge{|a|-|b|} [/dmath]
Так как [math]|x|\ge{x}[/math], то [math]|ab|\ge{ab}[/math], откуда [math]-2|ab|\le{-2ab}[/math]. С учётом [math]|a|^2=a^2[/math] и [math]|b|^2=b^2[/math] имеем:
[dmath] \begin{aligned} & |a|^2-2|a|\cdot|b|+|b|^2\le{a^2-2ab+b^2}\\ & \left(|a|-|b|\right)^2\le(a-b)^2.\\ & |a-b|\ge\left||a|-|b|\right|\ge{|a|-|b|} \end{aligned} [/dmath]
Вспомогательное неравенство доказано. Вычитая [math]|a|[/math] из обеих частей неравенства [math]|b|\lt\frac{|a|}{2}[/math], получим:
[dmath]|b|-|a|\lt-\frac{|a|}{2};\;\;|a|-|b|\gt\frac{|a|}{2}.[/dmath]
Таким образом, с учётом доказанного выше вспомогательного неравенства, получим:
[dmath] |a-b|\ge{|a|-|b|}\gt\frac{|a|}{2} [/dmath]
Выражения в левой и правой частях неравенства [math]|a-b|\gt\frac{|a|}{2}[/math] строго положительны, поэтому из данного неравенства следует [math]\frac{1}{|a-b|}\lt\frac{2}{|a|}[/math].
Сделаю небольшое примечание: в ходе решения использовалось простое свойство: если [math]x^2\ge{y^2}[/math], то [math]|x|\ge|y|[/math]. Его несложно доказать, если учесть, что [math]\left(|x|-|y|\right)\cdot\left(|x|+|y|\right)=x^2-y^2[/math]. Из неравенства [math]x^2\ge{y^2}[/math] имеем [math]x^2-y^2\ge{0}[/math], поэтому [math]\left(|x|-|y|\right)\cdot\left(|x|+|y|\right)\ge{0}[/math], откуда следует [math]|x|-|y|\ge{0}[/math], т.е. [math]|x|\ge|y|[/math].
Ответ
Неравенство доказано.
