Задача №1889

Сразу отмечу, что из условия \(|b|\lt\frac{|a|}{2}\) имеем \(|a|\gt{0}\). Докажем вспомогательное неравенство:

Так как \(|x|\ge{x}\), то \(|ab|\ge{ab}\), откуда \(-2|ab|\le{-2ab}\). С учётом \(|a|^2=a^2\) и \(|b|^2=b^2\) имеем:

Вспомогательное неравенство доказано. Вычитая \(|a|\) из обеих частей неравенства \(|b|\lt\frac{|a|}{2}\), получим:

Таким образом, с учётом доказанного выше вспомогательного неравенства, получим:

Выражения в левой и правой частях неравенства \(|a-b|\gt\frac{|a|}{2}\) строго положительны, поэтому из данного неравенства следует \(\frac{1}{|a-b|}\lt\frac{2}{|a|}\).

Сделаю небольшое примечание: в ходе решения использовалось простое свойство: если \(x^2\ge{y^2}\), то \(|x|\ge|y|\). Его несложно доказать, если учесть, что \(\left(|x|-|y|\right)\cdot\left(|x|+|y|\right)=x^2-y^2\). Из неравенства \(x^2\ge{y^2}\) имеем \(x^2-y^2\ge{0}\), поэтому \(\left(|x|-|y|\right)\cdot\left(|x|+|y|\right)\ge{0}\), откуда следует \(|x|-|y|\ge{0}\), т.е. \(|x|\ge|y|\).