007-02-2

Информация о задаче

Задача №7 параграфа №2 "Элементы логики. Метод математической индукции" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что при каждом [math]n\in{N}[/math] верны равенства:

1. [math]1\cdot{2}+2\cdot{5}+\ldots+n\cdot(3n-1)=n^2(n+1)[/math]
2. [math]1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2=\frac{n\left(4n^2-1\right)}{3}[/math]

Решение

Пункт №1

При [math]n=1[/math] равенство верно. Пусть оно верно и при [math]n=k[/math], т.е. [math]1\cdot{2}+2\cdot{5}+\ldots+k\cdot(3k-1)=k^2(k+1)[/math]. Докажем, что равенство будет верно и при [math]n=k+1[/math]:

[dmath] 1\cdot{2}+2\cdot{5}+\ldots+k\cdot(3k-1)+(k+1)\cdot(3(k+1)-1) =k^2(k+1)+(k+1)(3k+2)=(k+1)^2(k+2) [/dmath]

При [math]n=k+1[/math] равенство верно. Следовательно, согласно методу математической индукции, равенство верно при всех [math]n\in{N}[/math].