007-01-2

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №7 параграфа №1 "Множества. Комбинаторика" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Определить, в каком отношении ([math]X\subset{Y}[/math], [math]Y\subset{X}[/math], [math]X=Y[/math]) находятся множества [math]X[/math] и [math]Y[/math], если:

  1. [math]X=A\cup(B\backslash{C})[/math], [math]Y=(A\cup{B})\backslash(A\cup{C})[/math].
  2. [math]X=(A\cap{B})\backslash{C}[/math], [math]Y=(A\backslash{C})\cap(B\backslash{C})[/math].
  3. [math]X=A\backslash(B\cup{C})[/math], [math]Y=(A\backslash{B})\cup(A\backslash{C})[/math].

Решение

Решим эту задачу с использованием таблиц принадлежности.

Пункт №1

[math]\chi_{A}(x)[/math] [math]\chi_{B}(x)[/math] [math]\chi_{C}(x)[/math] [math]\chi_{X}(x)[/math] [math]\chi_{Y}(y)[/math]
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 0

Как видим из таблицы, есть наборы значений [math]\left(\chi_{A}(x),\chi_{B}(x),\chi_{C}(x)\right)[/math], на которых имеем [math]\chi_{X}(x)\neq\chi_{Y}(x)[/math], т.е. [math]X\neq{Y}[/math]. При этом на всех наборах [math]\left(\chi_{A}(x),\chi_{B}(x),\chi_{C}(x)\right)[/math] если [math]\chi_{Y}(x)=1[/math], то [math]\chi_{X}(x)=1[/math]. Иными словами, если некий элемент [math]x\in{Y}[/math], то этот же элемент [math]x\in{X}[/math]. Это означает, что [math]Y\subset{X}[/math], причём [math]X\neq{Y}[/math]. Иными словами, [math]Y[/math] – собственное подмножество множества [math]X[/math].

Отмечу, что некоторые авторы выделяют собственные подмножества знаком [math]\subset[/math]. Запись [math]A\subset{B}[/math] означает, что [math]A[/math] – собственное (строгое, истинное) подмножество множества [math]B[/math]. Запись [math]A\subseteq{B}[/math] в свою очередь означает, что множество [math]A[/math] – произвольное подмножество множества [math]B[/math]. Кудрявцев не разделяет эти случаи в своём задачнике, используя обозначение [math]\subset[/math] для любого типа подмножества.


Пункт №2

[math]\chi_{A}(x)[/math] [math]\chi_{B}(x)[/math] [math]\chi_{C}(x)[/math] [math]\chi_{X}(x)[/math] [math]\chi_{Y}(y)[/math]
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0

Совпадение соответствующих столбцов говорит о том, что [math]X=Y[/math].

Впрочем, здесь есть нюанс, ведь утверждения [math]X\subset{Y}[/math] и [math]Y\subset{X}[/math] также будут истинными. Поэтому отвечая на вопрос задачи можно сказать, что множества [math]X[/math] и [math]Y[/math] находятся в трёх отношениях сразу, т.е. [math]X=Y[/math], [math]X\subset{Y}[/math], [math]Y\subset{X}[/math].


Пункт №3

[math]\chi_{A}(x)[/math] [math]\chi_{B}(x)[/math] [math]\chi_{C}(x)[/math] [math]\chi_{X}(x)[/math] [math]\chi_{Y}(y)[/math]
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0

Как видим из таблицы, есть наборы значений [math]\left(\chi_{A}(x),\chi_{B}(x),\chi_{C}(x)\right)[/math], на которых имеем [math]\chi_{X}(x)\neq\chi_{Y}(x)[/math], т.е. [math]X\neq{Y}[/math]. При этом на всех наборах [math]\left(\chi_{A}(x),\chi_{B}(x),\chi_{C}(x)\right)[/math] если [math]\chi_{X}(x)=1[/math], то [math]\chi_{Y}(x)=1[/math]. Иными словами, если некий элемент [math]x\in{X}[/math], то этот же элемент [math]x\in{Y}[/math]. Это означает, что [math]X\subset{Y}[/math], причём [math]X\neq{Y}[/math]. Иными словами, [math]X[/math] – собственное подмножество множества [math]Y[/math].

Ответ

  1. [math]Y\subset{X}[/math], [math]Y\neq{X}[/math].
  2. [math]X=Y[/math], [math]X\subset{Y}[/math], [math]Y\subset{X}[/math].
  3. [math]X\subset{Y}[/math], [math]X\neq{Y}[/math].