006-04-2

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №6 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что для любого числа [math]a[/math] и для любого [math]n\in{N}[/math] выполняется равенство

[dmath] \left(1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}\right)\left(1+a+a^2+\ldots+a^{n+1}\right) =\left(1+a+a^2+\ldots+a^{n}\right)^2-a^n [/dmath]

Решение

Обозначим для простоты записи [math]v=1+a+a^2+\ldots+a^{n}[/math]. Учтём, что [math](a-1)v=a^{n+1}-1[/math].

[dmath] \left(1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}\right)\left(1+a+a^2+\ldots+a^{n+1}\right) =\left(v-a^n\right)\left(v+a^{n+1}\right)=\\ =v^2+va^{n+1}-va^n-a^{2n+1} =v^2+a^n(a-1)v-a^{2n+1} =v^2+a^n\left(a^{n+1}-1\right)-a^{2n+1} =v^2-a^n [/dmath]

Ответ

Равенство доказано.