Задача №1896
Условие
Доказать, что для любого числа \(a\) и для любого \(n\in{N}\) выполняется равенство
\[
\left(1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}\right)\left(1+a+a^2+\ldots+a^{n+1}\right)
=\left(1+a+a^2+\ldots+a^{n}\right)^2-a^n
\]
Решение
Обозначим для простоты записи \(v=1+a+a^2+\ldots+a^{n}\). Учтём, что \((a-1)v=a^{n+1}-1\).
\[
\left(1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}\right)\left(1+a+a^2+\ldots+a^{n+1}\right)
=\left(v-a^n\right)\left(v+a^{n+1}\right)=\\
=v^2+va^{n+1}-va^n-a^{2n+1}
=v^2+a^n(a-1)v-a^{2n+1}
=v^2+a^n\left(a^{n+1}-1\right)-a^{2n+1}
=v^2-a^n
\]
Ответ:
Равенство доказано.