006-01-2
Информация о задаче
Задача №6 параграфа №1 "Множества. Комбинаторика" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Доказать, что:
- [math](A\cup{B})\backslash{C}\subset{A\cup(B\backslash{C})}[/math]
- [math](A\cup{C})\backslash{B}\subset(A\backslash{B})\cup{C}[/math]
Решение
Пункт №1
Пусть [math]x\in(A\cup{B})\backslash{C}[/math], тогда [math]x\in{A\cup{B}}[/math], [math]x\notin{C}[/math]. Из условия [math]x\in{A\cup{B}}[/math] имеем [math]x\in{A}[/math] или [math]x\in{B}[/math]. Таким образом, имеем два случая: [math]x\in{A}[/math], [math]x\notin{C}[/math] или [math]x\in{B}[/math], [math]x\notin{C}[/math]. В любом из этих случаев имеем [math]x\in{A\cup(B\backslash{C})}[/math]. Следовательно, [math](A\cup{B})\backslash{C}\subset{A\cup(B\backslash{C})}[/math].
Пункт №2
Пусть [math]x\in(A\cup{C})\backslash{B}[/math], тогда [math]x\in{A\cup{C}}[/math], [math]x\notin{B}[/math]. Из условия [math]x\in{A\cup{C}}[/math] имеем [math]x\in{A}[/math] или [math]x\in{C}[/math]. Таким образом, имеем два случая: [math]x\in{A}[/math], [math]x\notin{B}[/math] или [math]x\in{C}[/math], [math]x\notin{B}[/math]. В любом из этих случаев имеем [math]x\in(A\backslash{B})\cup{C}[/math]. Следовательно, [math](A\cup{C})\backslash{B}\subset(A\backslash{B})\cup{C}[/math].
Ответ
Оба утверждения доказаны.
