Задача №1001
Условие
Доказать, что \(f(x)+f(-x)\) – чётная функция, а \(f(x)-f(-x)\) – нечётная функция.
Решение
Обозначим \(F(x)=f(x)+f(-x)\), \(G(x)=f(x)-f(-x)\). Пусть функция \(f(x)\) определена на некоем множестве \(X\). Для любого \(x\in{X}\) имеем \(-x\in{X}\) (иначе выражение \(f(x)+f(-x)\) не имело бы смысла), т.е. область определения функции \(f(x)\) симметрична относительно нуля. Функции \(F(x)\) и \(G(x)\) определены на том же множестве \(X\).
\[F(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=F(x)\]
\[G(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-\left(f(x)-f(-x)\right)=-G(x)\]
Так как область определения функций \(F(x)\) и \(G(x)\) симметрична относительно нуля, при этом \(F(-x)=F(x)\), \(G(-x)=-G(x)\), то функция \(F(x)\) является чётной, а функция \(G(x)\) – нечётной.
Ответ:
Утверждение доказано.