005-10-2
Информация о задаче
Задача №5 параграфа №10 "Непрерывность функции" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Доказать, что функция [math]y(x)[/math] непрерывна в каждой точке своей области определения, если:
- [math]y=2x-1[/math]
- [math]y=x^2[/math]
- [math]y=\sqrt{x}[/math]
- [math]y=\frac{1}{x}[/math]
- [math]y=ax+b[/math], [math]a\neq{0}[/math].
- [math]y=|x|[/math]
- [math]y=x^3[/math]
- [math]y=\sqrt[3]{x}[/math]
- [math]y=\frac{1}{x^2}[/math]
Решение
Пункт №1
Областью определения функции [math]y=2x-1[/math] есть множество всех действительных чисел, т.е. [math]D(y)=R[/math]. В произвольной точке [math]x\in{R}[/math] получим:
[dmath] \Delta{y} =y(x+\Delta{x})-y(x) =2\cdot(x+\Delta{x})-1-\left(2x-1\right) =2\Delta{x}. [/dmath]
Переходя к пределу, получим:
[dmath] \lim_{\Delta{x}\to{0}}\Delta{y} =\lim_{\Delta{x}\to{0}}\left(2\Delta{x}\right) =0. [/dmath]
Следовательно, функция [math]y=2x-1[/math] непрерывна при всех [math]x\in{R}[/math].
