005-10-2

Информация о задаче

Задача №5 параграфа №10 "Непрерывность функции" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что функция [math]y(x)[/math] непрерывна в каждой точке своей области определения, если:

1. [math]y=2x-1[/math]
2. [math]y=x^2[/math]
3. [math]y=\sqrt{x}[/math]
4. [math]y=\frac{1}{x}[/math]
5. [math]y=ax+b[/math], [math]a\neq{0}[/math].
6. [math]y=|x|[/math]
7. [math]y=x^3[/math]
8. [math]y=\sqrt[3]{x}[/math]
9. [math]y=\frac{1}{x^2}[/math]

Решение

Пункт №1

Областью определения функции [math]y=2x-1[/math] есть множество всех действительных чисел, т.е. [math]D(y)=R[/math]. В произвольной точке [math]x\in{R}[/math] получим:

[dmath] \Delta{y} =y(x+\Delta{x})-y(x) =2\cdot(x+\Delta{x})-1-\left(2x-1\right) =2\Delta{x}. [/dmath]

Переходя к пределу, получим:

[dmath] \lim_{\Delta{x}\to{0}}\Delta{y} =\lim_{\Delta{x}\to{0}}\left(2\Delta{x}\right) =0. [/dmath]

Следовательно, функция [math]y=2x-1[/math] непрерывна при всех [math]x\in{R}[/math].