Задача №1911

Нужно доказать, что для любого \(\varepsilon\gt{0}\) существует такой номер \(n_{\varepsilon}\), что при всех \(n\ge{n_{\varepsilon}}\) выполняется неравенство \(\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon\). Здесь \(x_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\). Рассмотрим модуль разности \(\left|x_n-1\right|\):

Таким образом, если \(\varepsilon\gt\frac{1}{2n}\), то неравенство \(\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon\) будет выполнено. Из неравенства \(\varepsilon\gt\frac{1}{2n}\) имеем \(n\gt\frac{1}{2\varepsilon}\). Так как \(\left[\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1\gt\frac{1}{2\varepsilon}\), то неравенство \(\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon\) будет выполнено и при \(n\ge\left[\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1\).

Следовательно, для любого \(\varepsilon\gt{0}\) существует такой номер \(n_{\varepsilon}=\left[\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1\), что при всех \(n\ge{n_{\varepsilon}}\) выполняется неравенство \(\left|x_n-1 \right|\lt\varepsilon\). Это означает, что \(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=1\).