005-05-2
Информация о задаче
Задача №5 параграфа №5 "Комплексные числа" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Определить, при каких действительных значениях [math]x[/math] и [math]y[/math] комплексные числа [math]z_1=y^2-7y+9xi[/math] и [math]z_2=-12+20i+x^2i[/math] равны.
Решение
Равенство [math]z_1=z_2[/math] означает равенство мнимых и действительных частей данных чисел, т.е. [math]\left\{\begin{aligned}&\Re{z_1}=\Re{z_2};\\&\Im{z_1}=\Im{z_2}.\end{aligned}\right.[/math]. Так как [math]\Re{z_1}=y^2-7y[/math], [math]\Im{z_1}=9x[/math], [math]\Re{z_2}=-12[/math], [math]\Im{z_2}=x^2+20[/math], то получим систему:
[dmath] \left\{\begin{aligned}&y^2-7y=-12;\\&9x=x^2+20.\end{aligned}\right. [/dmath]
[dmath] \left\{\begin{aligned}&y^2-7y+12=0;\\&x^2-9x+20=0.\end{aligned}\right. [/dmath]
Из первого уравнения имеем: [math]y_1=3[/math], [math]y_2=4[/math]. Из второго уравнения получим: [math]x_1=4[/math], [math]x_2=5[/math]. Таким образом, есть 4 пары значений [math]x[/math] и [math]y[/math], при которых равенство [math]z_1=z_2[/math] будет выполнено:
- [math]x=4[/math], [math]y=3[/math];
- [math]x=4[/math], [math]y=4[/math];
- [math]x=5[/math], [math]y=3[/math];
- [math]x=5[/math], [math]y=4[/math].
Ответ
- [math]x=4[/math], [math]y=3[/math];
- [math]x=4[/math], [math]y=4[/math];
- [math]x=5[/math], [math]y=3[/math];
- [math]x=5[/math], [math]y=4[/math].
