Задача №1908
Условие
Определить, при каких действительных значениях \(x\) и \(y\) комплексные числа \(z_1=y^2-7y+9xi\) и \(z_2=-12+20i+x^2i\) равны.
Решение
Равенство \(z_1=z_2\) означает равенство мнимых и действительных частей данных чисел, т.е. \(\left\{\begin{aligned}&\Re{z_1}=\Re{z_2};\\&\Im{z_1}=\Im{z_2}.\end{aligned}\right.\). Так как \(\Re{z_1}=y^2-7y\), \(\Im{z_1}=9x\), \(\Re{z_2}=-12\), \(\Im{z_2}=x^2+20\), то получим систему:
\[
\left\{\begin{aligned}&y^2-7y=-12;\\&9x=x^2+20.\end{aligned}\right.
\]
\[
\left\{\begin{aligned}&y^2-7y+12=0;\\&x^2-9x+20=0.\end{aligned}\right.
\]
Из первого уравнения имеем: \(y_1=3\), \(y_2=4\). Из второго уравнения получим: \(x_1=4\), \(x_2=5\). Таким образом, есть 4 пары значений \(x\) и \(y\), при которых равенство \(z_1=z_2\) будет выполнено:
Ответ:
- \(x=4\), \(y=3\);
- \(x=4\), \(y=4\);
- \(x=5\), \(y=3\);
- \(x=5\), \(y=4\).