005-01-2

Информация о задаче

Задача №5 параграфа №1 "Множества. Комбинаторика" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что включение [math]A\backslash{B}\subset{C}[/math] верно тогда и только тогда, когда [math]A\subset{B\cup{C}}[/math].

Решение

Первый способ

Пусть [math]A\backslash{B}\subset{C}[/math]. Докажем, что [math]A\subset{B\cup{C}}[/math]. Предположим, что это не так, т.е. [math]A\not\subset{B\cup{C}}[/math]. Тогда существует элемент [math]x\in{A}[/math] такой, что [math]x\notin{B\cup{C}}[/math]. Условие [math]x\notin{B\cup{C}}[/math] означает, что [math]x\notin{B}[/math] и [math]x\notin{C}[/math]. Из условий [math]x\in{A}[/math] и [math]x\notin{B}[/math] имеем [math]x\in{A\backslash{B}}[/math]. Так как при этом [math]x\notin{C}[/math], то [math]A\backslash{B}\not\subset{C}[/math]. Полученное противоречие говорит о том, что [math]A\subset{B\cup{C}}[/math].

Пусть [math]A\subset{B\cup{C}}[/math]. Докажем, что [math]A\backslash{B}\subset{C}[/math]. Предположим, что это не так, т.е. [math]A\backslash{B}\not\subset{C}[/math]. Тогда существует элемент [math]x[/math] такой, что [math]x\in{A\backslash{B}}[/math] такой, что [math]x\notin{C}[/math]. Из условия [math]x\in{A\backslash{B}}[/math] имеем [math]x\in{A}[/math], [math]x\notin{B}[/math]. Так как [math]x\notin{B}[/math] и [math]x\notin{C}[/math], то [math]x\notin{B\cup{C}}[/math]. Однако [math]x\in{A}[/math], поэтому [math]A\not\subset{B\cup{C}}[/math]. Полученное противоречие говорит о том, что [math]A\backslash{B}\subset{C}[/math].

Второй способ

Пусть [math]\chi_{A}[/math], [math]\chi_{B}[/math] и [math]\chi_{C}[/math] – характеристические функции множеств [math]A[/math], [math]B[/math] и [math]C[/math] соответственно. Рассмотрим такие предикаты:

[dmath] \begin{aligned} & A_1=\left(\chi_{A}(x)\wedge\neg\chi_{B}(x)\right)\rightarrow\chi_{C}(x);\\ & A_2=\chi_{A}(x)\rightarrow\left(\chi_{B}(x)\vee\chi_{C}(x)\right). \end{aligned} [/dmath]

Покажем, что предикат [math]R={A_1}\leftrightarrow{A_2}[/math] будет истинным на всех восьми наборах [math]\left(\chi_{A}(x);\;\chi_{B}(x);\;\chi_{C}(x)\right)[/math].

[math]\chi_{A}(x)[/math]	[math]\chi_{B}(x)[/math]	[math]\chi_{C}(x)[/math]	[math]\chi_{A}(x)\wedge\neg\chi_{B}(x)[/math]	[math]A_1[/math]	[math]\chi_{B}(x)\vee\chi_{C}(x)[/math]	[math]A_2[/math]	[math]R[/math]
0	0	0	0	1	0	1	1
0	0	1	0	1	1	1	1
0	1	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	0	1
1	0	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	1	1	0	1	1	1	1

Следовательно, предикат [math]R[/math] является тождественно истинным. Это значит, что включение [math]A\backslash{B}\subset{C}[/math] верно тогда и только тогда, когда [math]A\subset{B\cup{C}}[/math].

Ответ

Утверждение доказано.