Задача №1870

Первый способ

Пусть \(A\backslash{B}\subset{C}\). Докажем, что \(A\subset{B\cup{C}}\). Предположим, что это не так, т.е. \(A\not\subset{B\cup{C}}\). Тогда существует элемент \(x\in{A}\) такой, что \(x\notin{B\cup{C}}\). Условие \(x\notin{B\cup{C}}\) означает, что \(x\notin{B}\) и \(x\notin{C}\). Из условий \(x\in{A}\) и \(x\notin{B}\) имеем \(x\in{A\backslash{B}}\). Так как при этом \(x\notin{C}\), то \(A\backslash{B}\not\subset{C}\). Полученное противоречие говорит о том, что \(A\subset{B\cup{C}}\).

Пусть \(A\subset{B\cup{C}}\). Докажем, что \(A\backslash{B}\subset{C}\). Предположим, что это не так, т.е. \(A\backslash{B}\not\subset{C}\). Тогда существует элемент \(x\) такой, что \(x\in{A\backslash{B}}\) такой, что \(x\notin{C}\). Из условия \(x\in{A\backslash{B}}\) имеем \(x\in{A}\), \(x\notin{B}\). Так как \(x\notin{B}\) и \(x\notin{C}\), то \(x\notin{B\cup{C}}\). Однако \(x\in{A}\), поэтому \(A\not\subset{B\cup{C}}\). Полученное противоречие говорит о том, что \(A\backslash{B}\subset{C}\).

Второй способ

Пусть \(\chi_{A}\), \(\chi_{B}\) и \(\chi_{C}\) – характеристические функции множеств \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно. Рассмотрим такие предикаты:

Покажем, что предикат \(R={A_1}\leftrightarrow{A_2}\) будет истинным на всех восьми наборах \(\left(\chi_{A}(x);\;\chi_{B}(x);\;\chi_{C}(x)\right)\).

Следовательно, предикат \(R\) является тождественно истинным. Это значит, что включение \(A\backslash{B}\subset{C}\) верно тогда и только тогда, когда \(A\subset{B\cup{C}}\).