0049-1

Информация о задаче

Задача №49 параграфа №2 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Тождественны ли функции:

1. [math]f(x)=\frac{x}{x^2}[/math] и [math]\varphi(x)=\frac{1}{x}[/math].
2. [math]f(x)=\frac{x^2}{x}[/math] и [math]\varphi(x)=x[/math].
3. [math]f(x)=x[/math] и [math]\varphi(x)=\sqrt{x^2}[/math].
4. [math]f(x)=\lg{x^2}[/math] и [math]\varphi(x)=2\lg{x}[/math]?

Решение

Пункт №1

Областью определения данных функций будет множество [math]D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/math]. Так как для любого значения [math]x\in{D}[/math] имеем [math]f(x)=\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}=\varphi(x)[/math], то данные функции тождественны.

Пункт №2

Для функции [math]f(x)[/math] областью определения будет [math]D_f=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/math], а для функции [math]\varphi(x)[/math] область определения [math]D_{\varphi}=R[/math]. Так как [math]D_f\neq{D_{\varphi}}[/math], то данные функции не тождественны.

Пункт №3

Областью определения данных функций будет множество [math]D=(-\infty;+\infty)[/math]. Для любого значения [math]x\in{D}[/math] имеем [math]\varphi(x)=\sqrt{x^2}=|x|[/math]. Для отрицательных значений переменной имеем [math]|x|\neq{x}[/math], поэтому функции не тождественны.

Пункт №4

Для функции [math]f(x)[/math] областью определения будет [math]D_f=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/math], а для функции [math]\varphi(x)[/math] область определения [math]D_{\varphi}=(0;+\infty)[/math]. Так как [math]D_f\neq{D_{\varphi}}[/math], то данные функции не тождественны.

Ответ

1. Функции тождественны
2. Функции не тождественны
3. Функции не тождественны
4. Функции не тождественны

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).