0049-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №49 параграфа №2 главы №1 "Функции" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Тождественны ли функции:

  1. [math]f(x)=\frac{x}{x^2}[/math] и [math]\varphi(x)=\frac{1}{x}[/math].
  2. [math]f(x)=\frac{x^2}{x}[/math] и [math]\varphi(x)=x[/math].
  3. [math]f(x)=x[/math] и [math]\varphi(x)=\sqrt{x^2}[/math].
  4. [math]f(x)=\lg{x^2}[/math] и [math]\varphi(x)=2\lg{x}[/math]?

Решение

Пункт №1

Областью определения данных функций будет множество [math]D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/math]. Так как для любого значения [math]x\in{D}[/math] имеем [math]f(x)=\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}=\varphi(x)[/math], то данные функции тождественны.

Пункт №2

Для функции [math]f(x)[/math] областью определения будет [math]D_f=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/math], а для функции [math]\varphi(x)[/math] область определения [math]D_{\varphi}=R[/math]. Так как [math]D_f\neq{D_{\varphi}}[/math], то данные функции не тождественны.

Пункт №3

Областью определения данных функций будет множество [math]D=(-\infty;+\infty)[/math]. Для любого значения [math]x\in{D}[/math] имеем [math]\varphi(x)=\sqrt{x^2}=|x|[/math]. Для отрицательных значений переменной имеем [math]|x|\neq{x}[/math], поэтому функции не тождественны.

Пункт №4

Для функции [math]f(x)[/math] областью определения будет [math]D_f=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/math], а для функции [math]\varphi(x)[/math] область определения [math]D_{\varphi}=(0;+\infty)[/math]. Так как [math]D_f\neq{D_{\varphi}}[/math], то данные функции не тождественны.

Ответ

  1. Функции тождественны
  2. Функции не тождественны
  3. Функции не тождественны
  4. Функции не тождественны